【題目】汕尾市基礎教育處為調查在校中學生每天放學后的自學時間情況，在本市的所有中學生中隨機抽取了120名學生進行調查，現(xiàn)將日均自學時間小于1小時的學生稱為“自學不足”者根據(jù)調查結果統(tǒng)計后，得到如下列聯(lián)表，已知在調查對象中隨機抽取1人，為“自學不足”的概率為．

請完成上面的列聯(lián)表；

根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，能否有的把握認為“自學不足”與“配有智能手機”有關？

附表及公式: ，其中

【題目】直角坐標系xOy中，已知MN是圓C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一條弦，且CM⊥CN，P是MN的中點.當弦MN在圓C上運動時，直線l：x﹣y﹣5=0上總存在兩點A，B，使得恒成立，則線段AB長度的最小值是_____.

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

【答案】（1）， ；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于 的方程組，解出即可；

（2）由（1）可知， ，

由，可得，令， 利用導數(shù)研究其單調性可得

，

從而證明.

試題解析：（（1）由題意，所以，

又，所以，

若，則，與矛盾，故， .

（2）由（1）可知， ，

由，可得，

令，

，

令

當時， ， 單調遞減，且；

當時， ， 單調遞增；且，

所以在上當單調遞減，在上單調遞增，且，

故，

故.

【點睛】本題考查利用函數(shù)的切線求參數(shù)的方法，以及利用導數(shù)證明不等式的方法，解題時要認真審題，注意導數(shù)性質的合理運用.

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)），以坐標原點為極點， 軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為，若直線與曲線相切；

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）在曲線上取兩點， 與原點構成，且滿足，求面積的最大值.

（1）根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩種樹苗的平均高度；

（2）根據(jù)莖葉圖，計算甲、乙兩種樹苗的高度的方差，運用統(tǒng)計學知識分析比較甲、乙兩種樹苗高度整齊情況.

【題目】已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且相鄰的兩個最值點的距離為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）若將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度后得到函數(shù)的圖象，關于的不等式在上有解，求的取值范圍.

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點，當時， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線， 分別與橢圓交于點， ，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設由題，由此求出,可得橢圓的方程；

（2）設， ，

當直線的斜率不存在時，可得；

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設直線的方程為，則由消去通過運算可得

，同理可得，由此得到直線的斜率為，

直線的斜率為，進而可得.

試題解析：（1）設由題，

解得，則，

橢圓的方程為.

（2）設， ，

當直線的斜率不存在時，設，則，

直線的方程為代入，可得，

， ，則，

直線的斜率為，直線的斜率為，

，

當直線的斜率不存在時，同理可得.

當直線、的斜率存在時，，

設直線的方程為，則由消去可得：

，

又，則，代入上述方程可得

，

，則

，

設直線的方程為，同理可得，

直線的斜率為，

直線的斜率為，

.

所以，直線與的斜率之積為定值，即.

【題型】解答題
【結束】
21

【題目】已知函數(shù)， ，在處的切線方程為.

（1）求， ；

（2）若，證明： .

【題目】2020年初，新冠肺炎疫情襲擊全國，對人民生命安全和生產生活造成嚴重影響.在黨和政府強有力的抗疫領導下，我國控制住疫情后，一方面防止境外疫情輸入，另一方面逐步復工復產，減輕經(jīng)濟下降對企業(yè)和民眾帶來的損失.為降低疫情影響，某廠家擬在2020年舉行某產品的促銷活動，經(jīng)調查測算，該產品的年銷售量（即該廠的年產量）萬件與年促銷費用萬元（）滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產品的年銷售量只能是2萬件.已知生產該產品的固定投入為8萬元，每生產一萬件該產品需要再投入16萬元，廠家將每件產品的銷售價格定為每件產品年平均成本的1.5倍（此處每件產品年平均成本按元來計算）

（1）將2020年該產品的利潤萬元表示為年促銷費用萬元的函數(shù)；

（2）該廠家2020年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

【題目】小明在石家莊市某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元.

（1）請分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關系式；

（2）根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)與天數(shù)滿足以下表格：

回答下列問題：

①根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出這100天中甲、乙兩種方案的日薪平均數(shù)及方差；

②結合①中的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計學的思想，幫助小明分析，他選擇哪種薪酬方案比較合適，并說明你的理由.

（參考數(shù)據(jù)： ， ， ， ， ， ， ， ， ）

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）甲方案：底薪100元，每派送一單獎勵1元；乙方案：底薪140元，每日前55單沒有獎勵，超過55單的部分每單獎勵12元. 求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關系式；

①、由表格可知，甲方案中，日薪為152元的有20天，日薪為154元的有30天，日薪為156元的有20天，日薪為158元的有20天，日薪為160元的有10天，由此可求出這100天中甲方案的日薪平均數(shù)及方差：同理可求出這100天中乙兩種方案的日薪平均數(shù)及方差，

②不同的角度可以有不同的答案

試題解析：（（1）甲方案中派送員日薪（單位：元）與送貨單數(shù)的函數(shù)關系式為： ，

乙方案中派送員日薪（單位：元）與送單數(shù)的函數(shù)關系式為：

，

（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪為152元的有20天，日薪為154元的有30天，日薪為156元的有20天，日薪為158元的有20天，日薪為160元的有10天，則

，

，

乙方案中，日薪為140元的有50天，日薪為152元的有20天，日薪為176元的有20天，日薪為200元的有10天，則

，

②、答案一：

由以上的計算可知，雖然，但兩者相差不大，且遠小于，即甲方案日薪收入波動相對較小，所以小明應選擇甲方案.

答案二：

由以上的計算結果可以看出， ，即甲方案日薪平均數(shù)小于乙方案日薪平均數(shù)，所以小明應選擇乙方案.

【題型】解答題
【結束】
20

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為， ，且離心率為， 為橢圓上任意一點，當時， 的面積為1.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知點是橢圓上異于橢圓頂點的一點，延長直線， 分別與橢圓交于點， ，設直線的斜率為，直線的斜率為，求證： 為定值.

【題目】設函數(shù).

（1）討論的單調區(qū)間；

（2）若，求證：.

【題目】如圖，在四面體中，分別是線段的中點，，，，直線與平面所成的角等于．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．