Question

6．如圖甲所示，兩平行金屬板A、B的板長(zhǎng)l=0.20m，板間距d=0.20m，兩金屬板間加如圖乙所示的交變電壓，并在兩板間形成交變的勻強(qiáng)電場(chǎng)，忽略其邊緣效應(yīng)．在金屬板右側(cè)有一方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其左右寬度D=0.40m，上下范圍足夠大，邊界MN和PQ均與金屬板垂直．勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.0×10^-2 T．現(xiàn)從t=0開(kāi)始，從兩極板左端的中點(diǎn)O處以每秒鐘1000個(gè)的速率不停地釋放出某種帶正電的粒子，這些粒子均以v_o=2.0×10⁵ m/s的速度沿兩板間的中線射入電場(chǎng)，已知帶電粒子的比荷$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸ C/kg，粒子的重力和粒子間的相互作用都忽略不計(jì)，在粒子通過(guò)電場(chǎng)區(qū)域的極短時(shí)間內(nèi)極板間的電壓可以看作不變．求：

（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離；
（2）當(dāng)兩金屬板間的電壓至少為多少時(shí)，帶電粒子不能進(jìn)入磁場(chǎng)；
（3）在電壓變化的第一個(gè)周期內(nèi)有多少個(gè)帶電的粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)．

Answer 1

分析 （1）t=0時(shí)刻電壓為零，粒子勻速通過(guò)極板．在磁場(chǎng)中，粒子做做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合洛倫茲力提供向心力，可求出軌跡半徑，由幾何關(guān)系求解；
（2）研究臨界情況：粒子剛好不能射出電場(chǎng)時(shí)，根據(jù)類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的處理方法，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，從而確定電壓U₀；
（3）|u_AB|＜U₀時(shí)粒子可以射出電場(chǎng)，根據(jù)比例關(guān)系求解能進(jìn)入磁場(chǎng)的帶電粒子數(shù)目．

解答 解：（1）t=0時(shí)刻電壓為零，粒子勻速通過(guò)極板，由牛頓第二定律得：
Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$                        
得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$=0.2m＜D                              
所以出射點(diǎn)到入射點(diǎn)的距離為 s=2r=0.4m            
（2）考慮臨界情況：粒子剛好不能射出電場(chǎng)
對(duì)類(lèi)平拋過(guò)程：y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=$\frac5rhu9iv{2}$，
又 加速度 a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$，l=v₀t         
聯(lián)立解得 U₀=$\frac{r5sktcq^{2}m{v}_{0}^{2}}{q{l}^{2}}$=400V                            
（3）當(dāng)）|u_AB|＜U₀時(shí)，粒子可以射出電場(chǎng)，根據(jù)比例關(guān)系得第一個(gè)周期內(nèi)能夠出射的粒子數(shù)為：n=$\frac{400}{500}×1000×4$=3200 個(gè)
答：（1）t=0時(shí)刻進(jìn)入的粒子，經(jīng)邊界MN射入磁場(chǎng)和射出磁場(chǎng)時(shí)兩點(diǎn)間的距離是0.4m；
（2）當(dāng)兩金屬板間的電壓至少為400V時(shí)，帶電粒子不能進(jìn)入磁場(chǎng)；
（3）在電壓變化的第一個(gè)周期內(nèi)有3200個(gè)帶電的粒子能進(jìn)入磁場(chǎng)．

點(diǎn)評(píng) 此題考查粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，掌握運(yùn)動(dòng)處理的規(guī)律，理解這兩種處理的方法，注意分析臨界條件和幾何關(guān)系的運(yùn)用．