Question

19．如圖所示，在勻速轉動的水平圓盤上，沿半徑方向放置兩個用細線相連的質量均為m的小物體A、B，它們到轉軸的距離分別為r_A=20cm，r_B=30cm，A、B與盤間最大靜摩擦力均為重力的k=0.4倍，現極其緩慢的增加轉盤的角速度，試求：（答案可用根號表示）
（1）當細線上開始出現張力時，圓盤的角速度ω₁；
（2）當A開始滑動時，圓盤的角速度ω；
（3）當A即將滑動時，燒斷細線，A、B運動狀態(tài)如何？

Answer 1

分析 （1）抓住最大靜摩擦力提供向心力，根據牛頓第二定律求出細線出現張力時圓盤的角速度．
（2）當A開始滑動時，B靠拉力和最大靜摩擦力提供向心力，A靠最大靜摩擦力和拉力的合力提供向心力，結合牛頓第二定律列式求解．
（3）根據靜摩擦力和向心力的關系判斷A、B的運動規(guī)律．

解答 解：（1）當細線上開始出現張力時，B與圓盤之間的靜摩擦力達到最大值．
對B：$kmg=m{r}_{B}{{ω}_{1}}^{2}$，
即${ω}_{1}=\sqrt{\frac{kr}{{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{0.4×10}{0.3}}rad/s=\frac{2}{3}\sqrt{30}$rad/s．
（2）當A開始滑動時，A、B所受靜摩擦力均達最大，設此時細繩張力為T：
對B：$T+kmg=m{r}_{B}{ω}^{2}$，
對A：$kmg-T=m{r}_{A}{ω}^{2}$，
聯(lián)立解得：$ω=\sqrt{\frac{2kg}{{r}_{A}+{r}_{B}}}=\sqrt{\frac{2×0.4×10}{0.2+0.3}}=4rad/s$．
（3）燒斷細線時，繩的拉力消失，B所受靜摩擦力不足以提供所需向心力，故將遠離圓心；對A，拉力消失后，靜摩擦力變小，提供所需向心力，故繼續(xù)做圓周運動
答：（1）當細線上開始出現張力時，圓盤的角速度為$\frac{2}{3}\sqrt{30}rad/s$；
（2）當A開始滑動時，圓盤的角速度為4rad/s；
（3）B做離心運動，A繼續(xù)做圓周運動．

點評 解決本題的關鍵知道A、B做圓周運動向心力的來源，抓住臨界狀態(tài)，結合牛頓第二定律進行求解．