Question

2．如圖所示，質(zhì)量為m的木塊，用一輕繩拴著，置于很大的水平轉(zhuǎn)盤上，輕繩穿過轉(zhuǎn)盤中央的細(xì)管，與質(zhì)量也為m的小球相連，木塊與轉(zhuǎn)盤間的最大靜摩擦力為其重力的μ倍（μ=0.2），當(dāng)轉(zhuǎn)盤以角速度ω=4rad/s勻速轉(zhuǎn)動時．（g取10m/s²）
（1）要保持木塊與轉(zhuǎn)盤相對靜止，木塊轉(zhuǎn)動半徑的范圍是多少？
（2）若木塊轉(zhuǎn)動的半徑保持r=0.5m不變，則轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度范圍是多少？

Answer 1

分析 （1）木塊靠拉力和靜摩擦力共同提供向心力，當(dāng)靜摩擦力達到最大值時，木塊轉(zhuǎn)動半徑最大，根據(jù)牛頓第二定律求出木塊轉(zhuǎn)動半徑的最大值．
（2）取木塊為研究對象，木塊隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的向心力應(yīng)由繩的拉力和摩擦力提供，摩擦力可能為零，可能指向圓心，也可能背離圓心，繩的拉力F總等于小球的重力mg．根據(jù)牛頓第二定律即可解題．

解答 解：（1）當(dāng)靜摩擦力指向圓心達到最大值時，木塊轉(zhuǎn)動半徑最大，設(shè)最大半徑為r₁，對木塊分析，根據(jù)牛頓第二定律得：
T+f_m=mr₁ω²；
又 T=mg，f_m=μmg，
則mg+μmg=mr₁ω²
代入數(shù)據(jù)解得最大半徑為：r₁=0.75m．
當(dāng)靜摩擦力背離圓心達到最大值時，木塊轉(zhuǎn)動半徑最小，設(shè)最小半徑為r₂，對木塊分析，根據(jù)牛頓第二定律得：
 T-f_m=mr₂ω²；
又 T=mg，f_m=μmg，
則mg-μmg=mr₁ω²
代入數(shù)據(jù)解得最小半徑為：r₂=0.5m．
故木塊轉(zhuǎn)動半徑的范圍是 0.5m≤r≤0.75m．
（2）以木塊為研究對象，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度較大時，木塊剛要沿轉(zhuǎn)盤外滑時，此時由繩的拉力與最大靜摩擦力的合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
mg+μmg=mrω₁²
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{g（1+μ）}{r}}$=$\sqrt{\frac{10×（1+0.2）}{0.5}}$=2$\sqrt{6}$rad/s．
當(dāng)木塊隨轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度較小時，將要向圓心滑動，此時靜摩擦力的方向背離圓心，由牛頓第二定律得：
mg-μmg=mrω₂²
代入數(shù)據(jù)解得：ω₂=4rad/s
轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度范圍是：2rad/s≤ω≤2$\sqrt{6}$rad/s．
答：（1）要保持木塊與轉(zhuǎn)盤相對靜止，木塊轉(zhuǎn)動半徑的范圍是0.5m≤r≤0.75m．
（2）若木塊轉(zhuǎn)動的半徑保持r=0.5m不變，則轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動的角速度范圍是2rad/s≤ω≤2$\sqrt{6}$rad/s．

點評 解決本題的關(guān)鍵知道木塊剛要滑動時，木塊的摩擦力達到最大靜摩擦力，結(jié)合牛頓第二定律進行求解．