Question

7．如圖所示，V形轉盤可繞豎直中心軸OO′轉動，V形轉盤的側面與豎直轉軸間的夾角均為α=53°，盤上放著質量為1kg的物塊A，物塊A用長為L=1m的細線與固定在轉盤中心O處的力傳感器相連．物塊和傳感器的大小均可忽略不計，細線能承受的最大拉力為8N，A與轉盤間的動摩擦因數(shù)μ為1.5，且可認為最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．轉盤轉動時，細線一直伸直，當轉盤以不同的角速度勻速轉動時，傳感器上就會顯示相應的讀數(shù)F．（以下計算g取10m/s²）．
（1）當物塊A隨轉盤做勻速轉動．且其所受的摩擦力為零時，轉盤轉動的角速度ω₀=？（結果可以保留根式）
（2）將轉盤的角速度從（1）問中求得的值開始緩慢增大，直到繩子出現(xiàn)拉力之前，試通過計算分別寫出此過程中物塊A受轉盤的彈力F_N、摩擦力f隨角速度ω變化的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）當物塊A隨轉盤做勻速轉動．且其所受的摩擦力為零時，此時繩處于松弛狀態(tài)，由支持力和重力的合力提供向心力，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）當靜摩擦力沿內壁向下時，繩仍處于松弛狀態(tài)，由豎直方向由平衡條件列式及水平方向根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解角速度，此后，拉力隨ω的增大而變大，當細線拉力剛達到最大時，求出最大角速度，進而求出拉力．

解答 解：（1）對物塊A受力分析，由正交分解得：
F_Ncos53°=m${ω}_{0}^{2}$r
F_Nsin53°=mg
又 r=Lsin53°
由以上三式解得：ω₀=$\frac{5\sqrt{6}}{4}$ rad/s
（2）增大角速度，靜摩擦力方向沿內壁向下時，有：
F_Nsin53°-fcos53°=mg
F_Ncos53°+fsin53°=mω²r
滑塊未滑動，仍有 r=Lsin53°
解得 F_N=mgsin53°+mω²Lsin53°cos53°=8+0.48ω²；
f=mω²Lsin²53°-mgcos53°=0.64ω²-6
答：（1）當物塊A隨轉盤做勻速轉動．且其所受的摩擦力為零時，轉盤轉動的角速度是$\frac{5\sqrt{6}}{4}$ rad/s；
（2）將轉盤的角速度從（1）問中求得的值開始緩慢增大，直到繩子出現(xiàn)拉力之前，過程中物塊A受轉盤的彈力F_N、摩擦力f隨角速度ω變化的函數(shù)關系式F_N=8+0.48ω²；f=0.64ω²-6．

點評 本題的關鍵是能對物塊進行受力分析，根據(jù)豎直方向由平衡條件列式及水平方向牛頓第二定律列式，并能根據(jù)最大靜摩擦力的表達式分析．