Question

10．如圖甲所示，輕繩一端系一質(zhì)量為1kg的小球，另一端可繞固定的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)最高點(diǎn)開始計(jì)時(shí)，取水平向右為正方向，小球的水平分速度v隨時(shí)間t變化關(guān)系如圖乙所示，不計(jì)一切摩擦，取g=10m/s²．

（1）求t₂時(shí)刻輕繩對小球的拉力大�。�
（2）若在最高點(diǎn)計(jì)時(shí)時(shí)給小球的水平初速度改為v=$\sqrt{2}$m/s，保持輕繩長度不變，繩子被拉直時(shí)垂直于繩子方向的分速度不變．求小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)小球的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）由圖得出小球在最高點(diǎn)的速度和最低點(diǎn)的速度，結(jié)合機(jī)械能守恒即可求出繩子的長度；然后由牛頓第二定律即可求出拉力；
（2）分析小球過最高點(diǎn)的條件，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)求出繩子被拉直的位置，結(jié)合機(jī)械能守恒求出繩子被拉直時(shí)的速度，將速度分解求出兩個(gè)分速度，再由機(jī)械能守恒求出小球經(jīng)過最低點(diǎn)的速度．

解答 解：（1）從水平位置到豎直位置有：$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$  
代入數(shù)據(jù)解得：R=0.4m
最低點(diǎn)有：F-mg=$\frac{m{v}_{t}^{2}}{R}$ 
代入數(shù)據(jù)解得：F=72.5N  
（2）由于v=$\sqrt{2}$m/s＜$\sqrt{gR}=2$m/s，故小球從最高點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，假設(shè)平拋θ后繩拉直，有
R•sinθ=vt   
$R（1-cosθ）=\frac{1}{2}g{t}^{2}$   
解得：θ=90°
可知小球做平拋運(yùn)動(dòng)，恰好到達(dá)與圓心等高的點(diǎn)，然后小球開始做圓周運(yùn)動(dòng)，其豎直速度保持不變，水平速度消失．故有：
${v}_{y}=\sqrt{2gR}=\sqrt{2×10×0.4}=2\sqrt{2}$m/s
從水平位置運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)有：$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}+mgR=\frac{1}{2}m{v}^{2}$  
代入數(shù)據(jù)得：v=4m/s
答：（1）t₂時(shí)刻輕繩對小球的拉力大小是72.5N；
（2）若在最高點(diǎn)計(jì)時(shí)時(shí)給小球的水平初速度改為v=$\sqrt{2}$m/s，保持輕繩長度不變，小球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)小球的速度大小是4m/s．

點(diǎn)評 本題主要考查了圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的直接應(yīng)用，和應(yīng)用機(jī)械能守恒動(dòng)量解題的能力，要求同學(xué)們能根據(jù)圖象獲取有效信息，難度適中．