Question

12．已知質(zhì)量為m的物體與地心的距離為r（變量）時(shí)，物體和地球的引力勢(shì)能可表示為E_P=-$\frac{GMm}{r}$（設(shè)物體離地球無限遠(yuǎn)處時(shí)的勢(shì)能為零），其中G為已知的引力常量，M為已知的地球質(zhì)量．已知“神州十號(hào)”飛船所在的軌道半徑為r=R₁，“天宮一號(hào)”空間站所在的軌道半徑為r=R₂，且 R₂＞R₁．為了完成對(duì)接任務(wù)，需要啟動(dòng)“神舟十號(hào)”飛船的發(fā)動(dòng)機(jī)使飛船加速，從而使飛船順利“追上”空間站，問發(fā)動(dòng)機(jī)至少要對(duì)飛船做多少功？（已知引力做功與引力勢(shì)能變化的關(guān)系滿足W_引=-△E_P，最終結(jié)果要求用G、M、m、R₁和R₂表示）

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于向心力求出人造衛(wèi)星在軌道上的動(dòng)能，結(jié)合題目信息知軌道勢(shì)能，根據(jù)動(dòng)能定理求出發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)飛船做功

解答 解：由萬有引力定律得：$\frac{GMm}{r^2}=\frac{{m{v^2}}}{r}$，
可得飛船的動(dòng)能為：${E_K}=\frac{1}{2}m{v^2}=\frac{GMm}{2r}$
即：${E_K}_1=\frac{GMm}{{2{R_1}}}$，${E_K}_2=\frac{GMm}{{2{R_2}}}$
由動(dòng)能定理有：W+W_引=△E_K=E_K2-E_K1，
又${W_引}=-△{E_P}=\frac{GMm}{R_2}-\frac{GMm}{R_1}$
聯(lián)立以上關(guān)系可得：$W=\frac{GMm}{{2{R_1}}}-\frac{GMm}{{2{R_2}}}$
答：發(fā)動(dòng)機(jī)至少要對(duì)飛船做功$\frac{GMm}{2{R}_{1}^{\;}}-\frac{GMm}{2{R}_{2}^{\;}}$

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于衛(wèi)星類型，要根據(jù)其運(yùn)動(dòng)模型，由萬有引力定律提供向心力、圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律和功能關(guān)系求解．