Question

14．如圖所示，在磁感應(yīng)強度為B的水平勻強磁場中，有一豎直放置的光滑金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌平面與磁場垂直，導(dǎo)軌間距為L，頂端接有阻值為R的電阻，將一根金屬棒從導(dǎo)軌上的M處以速度v₀豎直向上拋出，棒到達N處后返回，回到出發(fā)點M時棒的速度為拋出時的一半．已知棒的長度為L，質(zhì)量為m，電阻為r．金屬棒始終在磁場中運動，處于水平且與導(dǎo)軌接觸良好，忽略導(dǎo)軌的電阻．重力加速度為g．
（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，求電阻R消耗的電能；
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時，所具有的最大速度；
（3）經(jīng)典物理學(xué)認為，金屬的電阻源于定向運動的自由電子與金屬離子的碰撞．已知元電荷為e．求當(dāng)金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時，棒中金屬離子對一個自由電子沿棒方向的平均作用力大�。�

Answer 1

分析 （1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，動能減少轉(zhuǎn)化為電能，根據(jù)能量守恒定律求電阻R消耗的電能．
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時重力的功率等于回路的電功率．由此列式求解最大速度．
（3）根據(jù)電流的微觀表達式I=neSv和金屬棒生熱功率公式P_r=（nSL）fv，結(jié)合進行解答．

解答 解：（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，由能量守恒得
回路中消耗的電能  Q=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m（\frac{{v}_{0}}{2}）^{2}$=$\frac{3}{8}m{v}_{0}^{2}$
電阻R消耗的電能  Q_R=$\frac{R}{R+r}$Q=$\frac{3Rm{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時作勻速直線運動，設(shè)最大速度為v，則有  mgv=$\frac{{E}^{2}}{R+r}$
其中 E=BLv
解得 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）方法一：
當(dāng)金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時，沿棒方向，棒中自由電子受到洛倫茲力evB、電場力eE_場和金屬離子對它的平均作用力f作用．因為棒中電流恒定，所以自由電子沿棒的運動可視為勻速運動．
則  f+eE_場=ev_mB
又  E_場=$\frac{U}{L}$，U=$\frac{BLv}{R+r}$•R
解得  f=$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$
方法二：當(dāng)金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時
單位時間內(nèi)機械能減少  P=mgv_m
金屬棒生熱功率  P_r=$\frac{r}{R+r}$P
回路中的電流  I=$\frac{BLv}{R+r}$
設(shè)棒的橫截面積為S，棒中單位體積內(nèi)的自由電子數(shù)為n，棒中自由電子定向移動的速度為v，金屬離子對自由電子的平均作用力為f．
則  P_r=（nSL）fv，I=neSv．
所以 f=$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$
答：
（1）金屬棒從M點被拋出至落回M點的整個過程中，a．電阻R消耗的電能為$\frac{3Rm{v}_{0}^{2}}{8（R+r）}$． 
（2）當(dāng)金屬棒向下運動達到穩(wěn)定狀態(tài)時，所具有的最大速度為$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）棒中金屬離子對一個自由電子沿棒方向的平均作用力大小為$\frac{emgr}{B{L}^{2}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握金屬棒穩(wěn)定的條件，理解電流的微觀表達式是聯(lián)系宏觀與微觀的橋梁．