Question

11．如圖所示，一個固定在桌面上的L形物塊，其中abcd為$\frac{3}{4}$圓周的光滑軌道，軌道半徑為R，a為最高點，de平面水平，長度為R，在e處有一塊固定的豎直擋板ef．將質(zhì)量為m的小球在d點的正上方釋放，讓其自由下落到d處切入軌道運動，測得小球在a點處受軌道壓力大小等于3mg（重力加速度g），求：
（1）小球釋放點離d點的高度h；
（2）小球離開a點后，第一次撞擊前的動能．

Answer 1

分析 （1）小球在a點時由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，由牛頓第二定律可求出小球通過a點的速度，再由機械能守恒定律求小球釋放點離d點的高度h；
（2）小球離開a后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律和幾何知識結合求出運動時間，再求分速度，從而得到動能．

解答 解：（1）小球通過a點時，由重力和軌道的壓力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg+N=m$\frac{{v}_{a}^{2}}{R}$
據(jù)題有：N=3mg
解得：v_a=2$\sqrt{gR}$
根據(jù)機械能守恒定律得：mg（h-R）=$\frac{1}{2}m{v}_{a}^{2}$
解得：h=3R
（2）小球離開a點后做平拋運動，假設小球恰好落在d點時在a點的初速度為v₁，恰好落在d點時在e點的初速度為v₂．由平拋運動的規(guī)律，
落在d點時有：R=$\frac{1}{2}$gt²；
R=v₁t；
解得：v₁=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
落在e點時有：2R=v₂t；
解得：v₂=$\sqrt{2gR}$
因為v_a=2$\sqrt{gR}$，所以小球會撞擊擋板．
從a到第一次撞擊的時間為：t′=$\frac{2R}{{v}_{a}}$=$\sqrt{\frac{R}{g}}$
小球第一次撞擊的速度大小為：v=$\sqrt{{v}_{a}^{2}+（gt′）^{2}}$=$\sqrt{5gR}$
動能為：E_k=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=2.5mgR
答：（1）小球釋放點離d點的高度h是3R；
（2）小球離開a點后，第一次撞擊前的動能是2.5mgR．

點評 本題的關鍵要把握圓周運動向心力來源，充分理解平拋運動的規(guī)律：水平方向的勻速直線運動，豎直方向的自由落體運動；它們的運動具有等時性，靈活運用運動學公式和幾何關系研究平拋運動．