Question

11．“嫦娥一號(hào)”的成功發(fā)射，為實(shí)現(xiàn)中華民族幾千年的奔月夢(mèng)想邁出了重要的一部，假設(shè)“嫦娥一號(hào)”在月球的近地軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繞行周期為T，月球的半徑為R，萬(wàn)有引力常量為G．
（1）求月球的質(zhì)量M；
（2）求月球表面的重力加速度g_月；
（3）若某天中國(guó)宇航員能成功登月，宇航員駕駛飛船在月球表面附近的豎直平面內(nèi)俯沖，在最低點(diǎn)附近的一小段軌跡可看作半徑為r的圓弧，宇航員質(zhì)量是m，飛船經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)的速度是v，求飛船經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，座椅對(duì)宇航員的支持力N．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求出月球的質(zhì)量．
（2）在月球表面，月球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g
（3）由萬(wàn)有引力定律求出月球附近的重力加速度，宇航員做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由座位的支持力與重力的合力提供，由牛頓第二定律列方程，可以求出座位對(duì)宇航員的作用力

解答 解：（1）設(shè)月球質(zhì)量為M，“嫦娥一號(hào)”的質(zhì)量為m，根據(jù)萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律，對(duì)“嫦娥一號(hào)”繞月飛行的過(guò)程有
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得$M=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$．
（3）設(shè)月球表面的重力加速度為g，
有萬(wàn)有引力定律可得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得：g=$\frac{4{π}^{2}{R}^{\;}}{{T}^{2}}$
（3）座位的作用力與宇航員受到的重力的合力提供向心力，
由牛頓第二定律可得：N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：N=$m（\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}+\frac{{v}^{2}}{r}）$
答：（1）月球的質(zhì)量M為$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）求月球表面的重力加速度為$\frac{4{π}^{2}{R}^{\;}}{{T}^{2}}$；
（3）飛船經(jīng)過(guò)最低點(diǎn)時(shí)，座椅對(duì)宇航員的支持力N為$m（\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}+\frac{{v}^{2}}{r}）$．

點(diǎn)評(píng) 能正確根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)的向心力由萬(wàn)有引力提供和量球表面的重力和萬(wàn)有引力相等列式求解有關(guān)質(zhì)量、重力加速度問(wèn)題．