Question

18．如圖所示有一塊長為1m的薄木板靜止水平地面上，薄木板質量為4㎏，其與地面間的動摩擦因數μ₀為0.5，薄木板右端放一質量1kg為小滑塊，大小可忽略不計，小滑塊與薄木板之間的動摩擦因數為μ₁為0.4，小滑塊與地面之間的動摩擦因數為μ₂為0.2．
（1）現用水平方向的恒力F拉木板M，為使m能從M上滑落，F需滿足的條件；
（2）在其它條件不變，若恒力F=53N，且始終作用在M上，小滑塊運動的時間多長；（忽略不計小滑塊從薄木板上滑落的時間及速度變化）
（3）在滿足（2）的條件中，小滑塊靜止時距薄木板的左側距離多大．

Answer 1

分析 （1）小滑塊在木板上滑動時，根據牛頓第二定律，求出滑塊和木板的加速度，當木板的加速度大于滑塊的加速度時，m就會從M上滑落下來．
（2）恒力F=53N，m在M上發(fā)生相對滑動，設m在M上面滑動的時間為t，求出木塊在t內的位移，兩者位移之差等于木板的長度L；
（3）小滑塊滑落后，由牛頓第二定律結合受力分析求出二者的加速度，然后求出滑塊停止運動的時間，最后由位移公式即可求出．

解答 解：（1）以M、m組成的系統(tǒng)為研究對象．當二者能一起加速運動時滿足：F-μ₀（M+m）g=（M+m）a
以m為研究對象，其加速度達到最大值時滿足：μ₁mg=ma₁
當a＞a₁時，M、m可以發(fā)生相對運動，即：F＞（μ₀+μ₁）（M+m）g
代入數據得：F＞45N
（2）以m在M上發(fā)生相對運動為研究過程，根據牛頓第二定律
對m有：μ₁mg=ma₁
可得：${a_1}={μ_1}g=4m/{s^2}$
對M有：F-μ₀（M+m）g-μ₁mg=Ma₂
可得${a_2}=\frac{{F-{μ_0}（M+m）g-{μ_1}mg}}{M}=6m/{s^2}$
由題意可得M、m的運動關系滿足：L=x₂-x₁
根據${x_1}=\frac{1}{2}{a_1}{t^2}$，可得m對地位移；${x_2}=\frac{1}{2}{a_2}{t^2}$可得M對地位移
所以$t=\sqrt{\frac{2L}{{a}_{2}-{a}_{1}}}$
代入數據得：t=1s
此時，m落地時的速度為v₁滿足：v₁=a₁t=4×1=4m/s
M此時的速度v₂滿足：v₂=a₂t=6×1=6m/s
以m在地面上滑行為研究過程，由牛頓第二定律μ₂mg=ma'₁
可得：a'₁=μ₂g=0.2×10=2m/s²
由v₁=a'₁t'
可得，m的滑行時間t'=2s
所以小滑塊運動的時間t_總=t+t'=1+2=3s
（3）以M、m分別在地面上運動為研究過程，
根據$2{a'_1}{x'_1}=v_1^2$
可得在地面上滑行距離$x{′}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a′}_{1}}=\frac{{4}^{2}}{2×2}=4m$
對M根據牛頓第二定律：F-μ₀Mg=Ma'₂可得：$a{′}_{2}=\frac{F-{μ}_{0}Mg}{M}$
根據${x'_2}={v_2}t'+\frac{1}{2}{a'_2}{t'^2}$
代入數據可得：x'₂=28.5m
由題意可知，所求間距△x滿足：△x=x'₂-x'₁=18.5-4=24.5m
答：（1）現用水平方向的恒力F拉木板M，為使m能從M上滑落，F需滿足的條件是F＞45N；
（2）在其它條件不變，若恒力F=53N，且始終作用在M上，小滑塊運動的時間長3s；
（3）在滿足（2）的條件中，小滑塊靜止時距薄木板的左側距離多大．

點評 解決本題的關鍵知道滑塊在薄木板上發(fā)生相對滑動時，薄木板的加速度大于滑塊的加速度．以及知道滑塊在薄木板上滑下時，兩者的位移之差等于滑板的長度．