Question

17．如圖所示，ABC和DEF是在同一豎直平面內(nèi)的兩條光滑的軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D間距很小，現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從軌道ABC上距點(diǎn)高為H的地方由靜止釋放．
（1）若H=$\frac{r}{2}$，求小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小和小球?qū)�軌道DEF的壓力？并由此判斷小球經(jīng)C點(diǎn)后是否沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)？
（2）若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度h小于$\frac{r}{2}$，小球可擊中圓弧EF上的P點(diǎn)，OP與OE成θ=30°，求h．

Answer 1

分析 （1）小球從ABC軌道下滑，機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒定律求球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小．小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，由牛頓運(yùn)用定律可求出小球?qū)�軌道DEF的壓力．要使小球經(jīng)C點(diǎn)后沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)，在C點(diǎn)的速度應(yīng)滿足：m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$≥mg．聯(lián)立即可分析；
（2）若小球靜止釋放處離C點(diǎn)的高度h小于$\frac{r}{2}$，小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得到球經(jīng)過C點(diǎn)的速度，再根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解h．

解答 解：（1）若H=$\frac{r}{2}$，小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過程，由機(jī)械能守恒得：mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$，得 v_C=$\sqrt{gr}$
設(shè)小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)球的作用力方向向下，大小為N，則 mg+N=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{r}$，解得 N=0，所以由牛頓第三定律得知小球?qū)�軌道DEF的壓力為0．
由于v_C=$\sqrt{gr}$，所以小球經(jīng)C點(diǎn)后恰好沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)．
（2）小球從A運(yùn)動(dòng)到C的過程，由機(jī)械能守恒得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{′2}$，得 v_C′=$\sqrt{2gh}$
小球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，擊中圓弧EF上的P點(diǎn)時(shí)有：
  r+rsin30°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
  rcos30°=v_C′t
聯(lián)立解得 h=$\frac{3}{24}$r
答：
（1）若H=$\frac{r}{2}$，小球經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)的速度大小為$\sqrt{gr}$，小球?qū)�軌道DEF的壓力為0，小球經(jīng)C點(diǎn)后恰好沿軌道DEF運(yùn)動(dòng)．
（2）h是$\frac{3}{24}$r．

點(diǎn)評(píng) 本題是圓周運(yùn)動(dòng)和機(jī)械能守恒結(jié)合的題型，關(guān)鍵要知道小球能在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在圓周最高點(diǎn)必須滿足條件mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$．