Question

1．圖為某種魚餌自動(dòng)投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長(zhǎng)為2R的豎直細(xì)管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內(nèi)有一原長(zhǎng)為R、下端固定的輕質(zhì)彈簧．投餌時(shí)，每次總將彈簧長(zhǎng)度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設(shè)質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)，對(duì)管壁的作用力恰好為零．不計(jì)魚餌在運(yùn)動(dòng)過程中的機(jī)械能損失，且鎖定和解除鎖定時(shí)，均不改變彈簧的彈性勢(shì)能．已知重力加速度為g．求：
（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p；
（3）已知地面與水面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′在90°角的范圍內(nèi)來回緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，每次彈射時(shí)只放置一粒魚餌，魚餌的質(zhì)量在$\frac{2}{3}$m到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長(zhǎng)時(shí)間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達(dá)管口C時(shí)對(duì)管壁的作用力恰好為零，其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，對(duì)其受力分析后，利用圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式來解；
（2）解除鎖定時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，使用機(jī)械能守恒定律可解；
（3）利用平拋規(guī)律、機(jī)械能守恒定律及幾何關(guān)系求解魚餌能夠落到水面的最大面積S．

解答 解：（1）質(zhì)量為m的魚餌到在管口C時(shí)做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力完全由重力提供，則有：
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由①式解得：v₁=$\sqrt{gR}$…②
（2）彈簧的彈性勢(shì)能全部轉(zhuǎn)化為魚餌的機(jī)械能，由機(jī)械能守恒定律有：
 E_p=mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$…③
由②③式解得：E_p=3mgR…④
（3）不考慮因緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)裝置對(duì)魚餌速度大小的影響，質(zhì)量為m的魚餌離開管口后做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)過t時(shí)間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)
律有：
4.5R=$\frac{1}{2}$gt² …⑤
x₁=v₁t+R…⑥
由⑤⑥式解得：x₁=4R…⑦
當(dāng)魚餌的質(zhì)量為$\frac{2}{3}$m時(shí)，設(shè)其到達(dá)管口C時(shí)速度大小為v₂，由機(jī)械能守恒定律有：
=$\frac{2}{3}$mg（1.5R+R）+$\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）{v}_{2}^{2}$…⑧
由④⑧式解得：v₂=2$\sqrt{gR}$…⑨
質(zhì)量為$\frac{2}{3}$m的魚餌落到水面上時(shí)，設(shè)離OO′的水平距離為x₂，則有：
x₂=v₂t+R…⑩
由⑤⑨⑩式解得：x₂=7R 
魚餌能夠落到水面的最大面積S，則S=$\frac{1}{4}$（πx₂²-πx₁²）=$\frac{33}{4}$πR²（或8.25πR²）
答：（1）質(zhì)量為m的魚餌到達(dá)管口C時(shí)的速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）彈簧壓縮到0.5R時(shí)的彈性勢(shì)能E_p為3.5mgR；
（3）魚餌能夠落到水面的最大面積S是84πR²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查豎立平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)、平拋規(guī)律、機(jī)械能守恒定律等知識(shí)，關(guān)鍵是把握?qǐng)A周運(yùn)動(dòng)的臨界條件和平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法．