Question

12．如圖所示，是豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道，半徑為R，已知∠AOB=60°，軌道上的最低點(diǎn)B的切線沿水平方向，軌道上端A點(diǎn)距水平地面高度為H，質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)軌道下端的B點(diǎn)水平飛出，最后落在水平地面上的C點(diǎn)，若空氣阻力可以忽略不計(jì)，重力加速度為g，求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的支持力多大？
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x為多少？
（3）當(dāng)H與R滿足什么關(guān)系時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x最大；這個(gè)水平距離的最大值是多少？

Answer 1

分析 （1）小球由A→B過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律及向心力公式列式求解軌道的支持力；
（2）小球從B點(diǎn)拋出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求解水平位移；
（3）根據(jù)機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得到水平距離x與R、H的關(guān)系式，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析水平位移的表達(dá)式即可求解．

解答 解：（1）小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，設(shè)在B點(diǎn)的速度為v_B，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$mv_B²
得：v_B=$\sqrt{gR}$
設(shè)小球在B點(diǎn)時(shí)所受軌道的支持力為F_N，對(duì)小球在B點(diǎn)根據(jù)牛頓第二定律有：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立可解得：F_N=2mg
（2）小球離開(kāi)B點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)．
沿豎直方向有：H-R=$\frac{1}{2}$gt²
沿水平方向有：x=v_Bt 
聯(lián)立解得：x=$\sqrt{2R（H-R）}$
（3）根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)可得：$\sqrt{R（H-R）}$≤$\frac{R+H-R}{2}$
當(dāng)R=H-R時(shí)，$\sqrt{R（H-R）}$有最大值，即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$時(shí)，x有最大值，且x的最大值為：
x_max=$\frac{\sqrt{2}}{2}$H
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，軌道對(duì)它的支持力是2mg．
（2）小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x為$\sqrt{2R（H-R）}$．
（3）當(dāng)H與R滿足$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$關(guān)系時(shí)，小球落地點(diǎn)C與B點(diǎn)的水平距離x最大；這個(gè)水平距離的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$H．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵對(duì)兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析清楚，然后選擇機(jī)械能守恒定律和平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律列式研究．對(duì)于極值問(wèn)題，往往根據(jù)物理規(guī)律得到解析式，再由數(shù)學(xué)知識(shí)求解．