12.如圖所示,是豎直平面內(nèi)的光滑圓弧軌道,半徑為R,已知∠AOB=60°,軌道上的最低點B的切線沿水平方向,軌道上端A點距水平地面高度為H,質(zhì)量為m的小球(可視為質(zhì)點)從軌道上的A點由靜止釋放,經(jīng)軌道下端的B點水平飛出,最后落在水平地面上的C點,若空氣阻力可以忽略不計,重力加速度為g,求:
(1)小球運動到B點時,軌道對它的支持力多大?
(2)小球落地點C與B點的水平距離x為多少?
(3)當(dāng)H與R滿足什么關(guān)系時,小球落地點C與B點的水平距離x最大;這個水平距離的最大值是多少?

分析 (1)小球由A→B過程中,只有重力做功,機械能守恒,根據(jù)機械能守恒定律及向心力公式列式求解軌道的支持力;
(2)小球從B點拋出后做平拋運動,根據(jù)平拋運動的位移公式求解水平位移;
(3)根據(jù)機械能守恒定律和平拋運動的規(guī)律得到水平距離x與R、H的關(guān)系式,再利用數(shù)學(xué)知識分析水平位移的表達(dá)式即可求解.

解答 解:(1)小球從A點運動到B點的過程中,機械能守恒,設(shè)在B點的速度為vB,根據(jù)機械能守恒定律有:
mgR(1-cos60°)=$\frac{1}{2}$mvB2
得:vB=$\sqrt{gR}$
設(shè)小球在B點時所受軌道的支持力為FN,對小球在B點根據(jù)牛頓第二定律有:
FN-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立可解得:FN=2mg
(2)小球離開B點后做平拋運動.
沿豎直方向有:H-R=$\frac{1}{2}$gt2
沿水平方向有:x=vB
聯(lián)立解得:x=$\sqrt{2R(H-R)}$
(3)根據(jù)數(shù)學(xué)知識可得:$\sqrt{R(H-R)}$≤$\frac{R+H-R}{2}$
當(dāng)R=H-R時,$\sqrt{R(H-R)}$有最大值,即$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$時,x有最大值,且x的最大值為:
xmax=$\frac{\sqrt{2}}{2}$H
答:(1)小球運動到B點時,軌道對它的支持力是2mg.
(2)小球落地點C與B點的水平距離x為$\sqrt{2R(H-R)}$.
(3)當(dāng)H與R滿足$\frac{R}{H}$=$\frac{1}{2}$關(guān)系時,小球落地點C與B點的水平距離x最大;這個水平距離的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$H.

點評 本題關(guān)鍵對兩個的運動過程分析清楚,然后選擇機械能守恒定律和平拋運動規(guī)律列式研究.對于極值問題,往往根據(jù)物理規(guī)律得到解析式,再由數(shù)學(xué)知識求解.

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7.關(guān)于重力勢能的理解,下列說法正確的是( 。
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4.如圖所示一光滑曲面與長L=2m的水平傳送帶左端平滑連接,一滑塊從曲面上的某位置由靜止開始下滑,滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.5傳送帶離地高度ho=0.8m,g=10m/s2
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