Question

20．如圖所示，相距為L的兩條足夠長的光滑平行金屬導軌與水平面的夾角為θ，上端接有定值電阻R，勻強磁場垂直于導軌平面，磁感應強度為B．將長為L、質量為m的導體棒由靜止釋放，當導體棒下滑距離L時達最大速度v（v為未知量），導體棒始終與導軌垂直且接觸良好，導體棒的電阻為2R，不計導軌的電阻，重力加速度為g，求：
（1）速度v的大小
（2）當導體棒速度達到$\frac{v}{2}$時加速度大小
（3）導體棒從釋放到下滑距離L過程流過導體棒的電荷量q
（4）導體棒從釋放到下滑距離2L的過程中電阻上產(chǎn)生的熱量Q是多少．

Answer 1

分析 （1）導體棒沿導軌先加速后勻速，速度達到最大．勻速運動時受力平衡，由平衡條件和安培力與速度的關系式，可求出v．
（2）當導體棒速度達到$\frac{v}{2}$時，先求出安培力，再由牛頓第二定律求加速度．
（3）根據(jù)法拉第電磁感應定律、歐姆定律求解流過導體棒的電荷量q．
（4）導體棒從釋放到下滑距離2L的過程中，導體棒的重力勢能減小，轉化為回路中的電能和導體棒的動能，根據(jù)能量守恒求解電阻上產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）當導體棒勻速運動時速度達到最大，此時導體棒受力平衡，則有：mgsinθ=BIL
又 I=$\frac{BLv}{3R}$
聯(lián)立得 mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{3R}$，得 v=$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）當導體棒速度達到$\frac{v}{2}$時導體棒受到的安培力 F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}•\frac{v}{2}}{3R}$=$\frac{1}{2}$mgsinθ
根據(jù)牛頓第二定律得 mgsinθ-F=ma
解得 a=$\frac{1}{2}$gsinθ
（3）導體棒從釋放到下滑距離L過程流過導體棒的電荷量 q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{3R}t$=$\frac{BL\overline{v}t}{3R}$=$\frac{B{L}^{2}}{3R}$
（4）導體棒從釋放到下滑距離2L的過程中，回路中產(chǎn)生的總熱量 Q_總=mg•2Lsinθ-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
電阻上產(chǎn)生的熱量 Q=$\frac{R}{3R}$Q_熱；
解得 Q=$\frac{2}{3}$mgLsinθ-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．
答：
（1）速度v的大小為$\frac{3mgRsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）當導體棒速度達到$\frac{v}{2}$時加速度大小為$\frac{1}{2}$gsinθ．
（3）導體棒從釋放到下滑距離L過程流過導體棒的電荷量q為$\frac{B{L}^{2}}{3R}$．
（4）導體棒從釋放到下滑距離2L的過程中電阻上產(chǎn)生的熱量Q是$\frac{1}{3}$mgLsinθ-$\frac{3{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}si{n}^{2}θ}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題考查了電磁感應知識和電路知識、力學規(guī)律，關鍵要正確分析棒的運動情況，推導出安培力表達式，并正確把握能量的轉化情況．