Question

19．如圖所示，某真空區(qū)域內(nèi)存在勻強電場和勻強磁磁場，取正交坐標(biāo)系Oxyz（z軸正方向豎直向上）．已知電場方向沿z軸正方向，場強大小為E；磁場方向沿y軸正方向，磁感應(yīng)強度的大小為B；重力加速度為g．一個質(zhì)量為m、帶電量為+q的帶電粒子從原點O出發(fā)在此區(qū)域內(nèi)運動．求解以下問題：
（1）若撤去勻強磁場，該粒子從原點O出發(fā)的速度為v₀，且沿x軸正方向．求運動一段時間t時，粒子所在位置的坐標(biāo)；
（2）該區(qū)域內(nèi)仍存在題設(shè)的勻強電場和勻強磁場．該粒子能否沿坐標(biāo)軸（x軸、y軸或z軸）以速度v做勻速運動？若能，物理量m、q、E、B、v及g應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？若不能，說明理由．
（3）若只把電場方向改為沿x軸正方向，其它條件不變，該粒子恰能在此區(qū)域里以某一恒定的速度運動．某一時刻電場和磁場全消失，該粒子在接下來的運動過程中的最小動能為最初動能的一半．求電場和磁場消失前粒子沿三個坐標(biāo)軸方向的分速度．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場力和重力共同作用下在xoz平面內(nèi)做類平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律計算粒子的位置；
（2）小球做勻速直線運動，受力平衡，根據(jù)粒子的受力的情況，根據(jù)平衡條件列式求速率．
（3）粒子以恒定的速度運動，說明所受合外力為零，電場和磁場全消失后粒子動能達到最小值，此時速度為水平方向，最小動能為最初動能的一半．

解答 解：（1）該粒子在電場力和重力共同作用下在xoz平面內(nèi)做類平拋運動，運動一段時間t時，y方向位移為0   
x方向位移為s_x=v₀t
z方向加速度為${a_z}=\frac{qE-mg}{m}$
z方向位移為${s_z}=\frac{1}{2}{a_z}{t^2}=\frac{{（qE-mg）{t^2}}}{2m}$
運動一段時間t時，粒子所在位置的坐標(biāo)為（v₀t、0、$\frac{{（qE-mg）{t^2}}}{2m}$）
（2）i若該粒子沿x軸負方向勻速運動，則洛倫茲力沿z軸負方向必須滿足關(guān)系：mg+qvB=qE
ii若該粒子沿x軸正方向勻速運動，則洛倫茲力沿z軸正方向必須滿足關(guān)系：mg=qvB+qE
iii若該粒子沿y軸勻速運動，不受洛倫茲力，必須滿足關(guān)系：mg=qE
iv不能沿Z軸做勻速運動．因為重力和電場力是沿Z軸方向的，而一開始洛倫茲力是沿X軸方向的，合力不可能為零．
（3）該粒子恰能在此區(qū)域里以某一恒定的速度運動，說明所受合外力為零ΣF=0
此條件沿x軸分量式為qE=qv_zB，則沿z軸的分速度為${v_z}=\frac{E}{B}$；
此條件沿z軸分量式為mg=qv_xB，則沿x軸的分速度為${v_x}=\frac{mg}{Bq}$；
設(shè)最初的速度為v，電場和磁場全消失后粒子動能達到最小值，此時速度為水平方向，最小動能為最初動能的一半，說明$v_x^2+v_y^2=v_z^2=\frac{1}{2}v_{\;}^2$
所以$v=\sqrt{2}{v_z}$
由于${v^2}=v_x^2+v_y^2+v_z^2$
則沿y軸的分速度為${v_y}=\sqrt{{v^2}-v_x^2-v_z^2}=\sqrt{{{（{\frac{E}{B}}）}^2}-{{（{\frac{mg}{qB}}）}^2}}$
答：（1）運動一段時間t時，粒子所在位置的坐標(biāo)為（v₀t、0、$\frac{{（qE-mg）{t^2}}}{2m}$）；
（2）i若該粒子沿x軸負方向勻速運動，則洛倫茲力沿z軸負方向
必須滿足關(guān)系mg+qvB=qE
ii若該粒子沿x軸正方向勻速運動，則洛倫茲力沿z軸正方向
必須滿足關(guān)系mg=qvB+qE
iii若該粒子沿y軸勻速運動，不受洛倫茲力
必須滿足關(guān)系mg=qE
（3）沿x軸分量式為qE=qv_zB，則沿z軸的分速度為${v_z}=\frac{E}{B}$；
沿z軸分量式為mg=qv_xB，則沿x軸的分速度為${v_x}=\frac{mg}{Bq}$；
沿y軸的分速度為${v}_{y}=\sqrt{{（\frac{E}{B}）}^{2}-{（\frac{mg}{qB}）}^{2}}$．

點評 本題綜合考查了洛倫茲力方向的判斷、受力分析、力的平衡條件等主要知識，在解答中要注意：若是負電荷洛倫茲力的方向要小心謹慎判定；同時本題對學(xué)生的空間能力的想象要求較高，是道好題．