Question

13．有一質(zhì)量為M半徑為R的密度均勻球體，在距離球心O為2R的地方有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，現(xiàn)在從M中挖去一半徑為$\frac{R}{2}$的球體，如圖所示，
（1）求剩下部分對m的萬有引力F為多大？
（2）若挖去的小球中填滿原來球的密度的2倍的物質(zhì)，則質(zhì)點(diǎn)m所受到的萬有引力為多大？

Answer 1

分析 用沒挖之前球?qū)�質(zhì)點(diǎn)的引力，減去被挖部分對質(zhì)點(diǎn)的引力，就是剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的引力．
用剩余部分對質(zhì)點(diǎn)的引力以及填滿的新物質(zhì)對質(zhì)點(diǎn)的引力之和，得出質(zhì)點(diǎn)m所受的萬有引力．

解答 解：（1）沒挖去前，球體對質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力${F}_{1}=\frac{GMm}{4{R}^{2}}$，
根據(jù)m=$ρ\frac{4}{3}π{r}^{3}$，可知挖去部分的質(zhì)量是球體質(zhì)量的$\frac{1}{8}$，則挖去部分對質(zhì)點(diǎn)m的引力${F}_{2}=\frac{G\frac{1}{8}Mm}{（\frac{3R}{2}）^{2}}$=$\frac{GMm}{18{R}^{2}}$，
則剩下部分對m的萬有引力F=${F}_{1}-{F}_{2}=\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$．
（2）若挖去的小球中填滿原來球的密度的2倍的物質(zhì)，該物質(zhì)的質(zhì)量為$\frac{1}{4}M$，
則該物質(zhì)對質(zhì)點(diǎn)m的萬有引力${F}_{3}=\frac{G\frac{1}{4}Mm}{（\frac{3R}{2}）^{2}}=\frac{GMm}{9{R}^{2}}$，
所以質(zhì)點(diǎn)所受的萬有引力$F′=F+{F}_{3}=\frac{7GMm}{36{R}^{2}}+\frac{GMm}{9{R}^{2}}$=$\frac{11GMm}{36{R}^{2}}$．
答：（1）剩下部分對m的萬有引力F為$\frac{7GMm}{36{R}^{2}}$；
（2）質(zhì)點(diǎn)m所受到的萬有引力為$\frac{11GMm}{36{R}^{2}}$．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵就是要對挖之前的引力和挖去部分的引力計(jì)算，而不是直接去計(jì)算剩余部分的引力，因?yàn)槟鞘且粋�(gè)不規(guī)則球體，其引力直接由公式得到．