Question

8．如圖甲所示，一長(zhǎng)為l=1m的輕繩，一端穿在過(guò)O點(diǎn)的水平轉(zhuǎn)軸上，另一端固定一質(zhì)量為m的小球，整個(gè)裝置繞O點(diǎn)在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．給系統(tǒng)輸入能量，使小球通過(guò)最高點(diǎn)的速度不斷加快，通過(guò)傳感器測(cè)得小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，繩對(duì)小球的拉力F與小球在最高點(diǎn)動(dòng)能E_k的關(guān)系如圖乙所示，重力加速度為g，不考慮摩擦和空氣阻力，請(qǐng)分析并回答以下問(wèn)題：

（1）若要小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球過(guò)最高點(diǎn)的速度有何要求？（用題中給出的字母表示）．
（2）請(qǐng)根據(jù)題目及圖象中的條件求出小球質(zhì)量m的值．（g取10m/s²）
（3）求小球從圖中a點(diǎn)所示狀態(tài)到圖中b點(diǎn)所示狀態(tài)的過(guò)程中，外界對(duì)此系統(tǒng)做的功．
（4）當(dāng)小球達(dá)到圖乙中b點(diǎn)所示狀態(tài)時(shí)，立刻停止能量輸入．之后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，在繩中拉力達(dá)到最大值的位置，輕繩繃斷，求繃斷瞬間繩中拉力的大�。�

Answer 1

分析 （1）在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律可求小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)滿足的條件；
（2）在最高點(diǎn)，由牛頓第二定律并結(jié)合圖象信息可求小球質(zhì)量和擺線長(zhǎng)度；
（3）由圖象得斜率，根據(jù)動(dòng)能定理求外界對(duì)系統(tǒng)做的功；
（4）應(yīng)用機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律求繃斷瞬間繩中拉力的大�。�

解答 解：（1）小球剛好通過(guò)最高點(diǎn)做完整圓運(yùn)動(dòng)要求在最高點(diǎn)受力滿足：mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
因此小球過(guò)最高點(diǎn)的速度要滿足：v≥$\sqrt{gl}$．
（2）小球在最高點(diǎn)時(shí)有：mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{l}$  又因?yàn)椋篍_K=$\frac{1}{2}$mv²，
所以繩對(duì)小球的拉力F與小球在最高點(diǎn)動(dòng)能E_k的關(guān)系式為：F=$\frac{2{E}_{K}}{l}$-mg，
由圖象知，當(dāng)E_K=1.0J時(shí)，F(xiàn)=0，代入上式得到：mgl=2.0J；又已知l=1m，則小球的質(zhì)量m=0.2kg．
（3）由F=$\frac{2{E}_{K}}{l}$-mg知：圖線的斜率值為：$\frac{2}{l}$=2N/J，因此對(duì)應(yīng)狀態(tài)b，F(xiàn)_b=4.0N，可求出小球在最高點(diǎn)的動(dòng)能：$\frac{{E}_{kb}-1.0}{4.0}$=$\frac{1}{2}$，于是得到：E_Kb=3.0J
對(duì)小球從狀態(tài)a到狀態(tài)b的過(guò)程，有：W=E_Kb-E_K=3.0-1.0=2.0J，
即：外界對(duì)系統(tǒng)做的功為2.0J．
（4）在停止能量輸入之后，小球在重力和輕繩拉力作用下在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中機(jī)械能守恒．當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，繩中拉力達(dá)到最大值．
設(shè)小球在最低點(diǎn)的速度為v，對(duì)從b狀態(tài)開(kāi)始至達(dá)到最低點(diǎn)的過(guò)程應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，有：mg•2l=$\frac{1}{2}$mv²-E_Kb；
設(shè)在最低點(diǎn)繩中拉力為F_m，由牛頓第二定律有：F_m-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$，
兩式聯(lián)立解得：F_m=16N，
即：繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N．
答：
（1）若要小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)小球過(guò)最高點(diǎn)的速度滿足：v≥$\sqrt{gl}$；
（2）小球質(zhì)量為0.2kg；擺線長(zhǎng)度為1m；
（3）外界對(duì)此系統(tǒng)做的功為2.0J；
（4）繃斷瞬間繩中拉力的大小為16N．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周運(yùn)動(dòng)向心力公式的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能根據(jù)圖象獲取有效信息，難度適中．熟練運(yùn)用牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律也是解答此題的關(guān)鍵．