Question

6．一探險隊員在探險時遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀．此隊員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v₀沿水平方向跳向另一側(cè)坡面．如圖所示，以溝底的O點為原點建立坐標(biāo)系Oxy．已知，山溝豎直一側(cè)的高度為h，坡面的拋物線方程為y=$\frac{1}{h}{x^2}$，探險隊員的質(zhì)量為m．人視為質(zhì)點，忽略空氣阻力，重力加速度為g．
（1）求此人落到坡面試的動能；
（2）此人水平跳出的速度為多大時，他落在坡面時的動能最��？動能的最小值為多少？

Answer 1

分析 （1）由平拋運動規(guī)律列出等式．由整個過程中根據(jù)由動能定理求解即可
（2）根據(jù)動能的表達(dá)式應(yīng)用數(shù)學(xué)方法求解．

解答 解：（1）設(shè)探險隊員跳到坡面上時水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運動規(guī)律有：x=v₀t，H=$\frac{1}{2}$gt²，
整個過程中，由動能定理可得：mgH=E_K-$\frac{1}{2}$mv₀²
由幾何關(guān)系，y=2h-H
坡面的拋物線方程y=$\frac{1}{2h}$x²
解以上各式得：E_K=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$
（2）將E_K=$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$改寫為
${E_k}=\frac{1}{4}m（2v_0^2+gh）+\frac{{m{g^2}{h^2}}}{2v_0^2+gh}-\frac{1}{4}mgh$
$當(dāng)\frac{1}{4}m（2v_0^2+gh）=\frac{{m{g^2}{h^2}}}{2v_0^2+gh}時$
$即v_0^{\;}=\sqrt{\frac{1}{2}gh}時$，
${E_{kmin}}=\frac{3}{4}mgh$
答：（1）此人落到坡面時的動能是：$\frac{1}{2}$mv₀²+$\frac{4m{g}^{2}{h}^{2}}{{v}_{0}^{2}+gh}$
（2）此人水平跳出的速度為$\sqrt{\frac{gh}{2}}$時，他落在坡面時的動能最小，動能的最小值為$\frac{3mgh}{4}$

點評 本題主要考查平拋運動和動能定理的應(yīng)用，以及函數(shù)最值的計算，意在考查考生的綜合分析及數(shù)學(xué)計算能力．對學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)規(guī)律解物理問題的能力要求較高．