Question

【題目】雪橇運(yùn)動(dòng)在北方很受人們歡迎，其簡化模型如圖所示。傾角θ=37°的直線雪道AB與曲線雪道BCDE在B點(diǎn)平滑連接，其中A、E兩點(diǎn)在同一水平面上，雪道最高點(diǎn)C所對應(yīng)的圓弧半徑R=10m，B、C兩點(diǎn)距離水平面AE的高度分別為h1=18m、h2=18.1m，雪橇與雪道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.1。游客可坐在電動(dòng)雪橇上由A點(diǎn)從靜止開始向上運(yùn)動(dòng)。若電動(dòng)雪橇以恒定功率P=1.03kW工作t=10s時(shí)間后自動(dòng)關(guān)閉，則雪橇和游客（總質(zhì)量M=50kg）到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度vC=1m/s，到達(dá)E點(diǎn)時(shí)的速度vE=9m/s。已知雪橇運(yùn)動(dòng)過程中不脫離雪道，sin37°=0.6，重力加速度g取10m/s2。

(1)求雪橇在C點(diǎn)時(shí)對雪道的壓力；

(2)求雪橇在BC段克服摩擦力做的功；

(3)求雪橇從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能；

(4)若僅將DE段改成與曲線雪道CD段平滑連接的傾斜直線軌道（如圖中虛線所示），則雪橇從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能將如何變化（增加，減少還是不變）？請簡要說明理由。

Answer 1

【答案】（1）495N（2）25J（3）7050J（4）不變

【解析】試題分析：選雪橇和游客的整體為研究對象，對其運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)進(jìn)行受力分析，運(yùn)用牛頓第二定律即可求出雪橇在C點(diǎn)時(shí)對雪道的壓力；從A到C對雪橇和游客的整體運(yùn)用動(dòng)能定理，即可求出雪橇在BC段克服摩擦力做的功；對整體從C到E運(yùn)用動(dòng)能定理，求出摩擦力做功，根據(jù)功能原理即可求出C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能；運(yùn)用微積分思想求出曲線軌道上摩擦力做功，與傾斜直線軌道上摩擦力做功做比較，即可判斷雪橇和游客的整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失機(jī)械能的情況。

（1）設(shè)C點(diǎn)軌道對雪橇的支持力為NC，根據(jù)牛頓第二定律可得：

代入數(shù)據(jù)解得：

根據(jù)牛頓第三定律可得，雪橇在C點(diǎn)時(shí)對雪道的壓力：NC′=NC=495N

（2）設(shè)雪橇在BC段克服摩擦力做的功為WBC，從A到C對雪橇和游客的整體運(yùn)用動(dòng)能定理可得：

代入數(shù)據(jù)解得：WBC=25J

（3）對整體從C到E運(yùn)用動(dòng)能定理可得：

代入數(shù)據(jù)解得從C到E克服摩擦力做功：WCE=7050J
所以整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能：W損=WCE=7050J

（4）設(shè)D到E的水平距離為L，平滑連接的傾斜直線軌道傾角為θ，

摩擦力做功：

曲線軌道上任選極短一段如圖所示，將這一小段近似看成傾角為α的傾斜直線軌道，該端軌道在水平方向上的投影長為△x，則摩擦力在該段軌道上做功： ，所以整個(gè)曲線軌道摩擦力做功等于每一小段摩擦力做功的累加，即：

故兩軌道的摩擦力做功相同：
所以雪橇和游客的整體從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)過程中損失的機(jī)械能相同。