Question

8．偵察衛(wèi)星在通過地球兩極上空的圓軌道上運動，它的運動軌道距地面高度為h，要使衛(wèi)星在一天的時間內將地面上赤道各處在日照條件下的情況全都拍攝下來，衛(wèi)星在通過赤道上空時，衛(wèi)星上的攝像機至少應拍攝地面上赤道圓周的弧長是$\frac{4{π}^{2}}{T}\sqrt{\frac{{（h+R）}^{3}}{g}}$．（設地球的半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉的周期為T．）

Answer 1

分析 攝像機只要將地球的赤道拍攝全，便能將地面各處全部拍攝下來；
根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛(wèi)星周期．
由地球自轉角速度求出衛(wèi)星繞行地球一周的時間內，地球轉過的圓心角，再根據(jù)弧長與圓心角的關系求解．

解答 解：設衛(wèi)星周期為T₁，根據(jù)萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m（R+h）\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$ ①
又$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg ②
有${T}_{1}=\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{（h+R）^{3}}{g}}$③
地球自轉角速度為ω=$\frac{2π}{T}$④
在衛(wèi)星繞行地球一周的時間T₁內，地球轉過的圓心角為
θ=ωT₁=$\frac{2π}{T}$T₁ ⑤
那么攝像機轉到赤道正上方時攝下圓周的弧長為s=θR ⑥
由①②③④⑤⑥得s=$\frac{4{π}^{2}}{T}\sqrt{\frac{（h+R）^{3}}{g}}$
故答案為：$\frac{4{π}^{2}}{T}\sqrt{\frac{{（h+R）}^{3}}{g}}$

點評 本題考查應用物理知識分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．