Question

13．小球在流體中運動時，它將受到流體阻礙運動的粘滯阻力．實驗發(fā)現(xiàn)當(dāng)小球相對流體的速度不太大時，粘滯阻力F=6πηvr，式中r為小球的半徑，v為小球相對流體運動的速度，η為粘滯系數(shù)，由液體的種類和溫度而定，現(xiàn)將一個半徑r=1.00mm的鋼球，放入常溫下的甘油中，讓它下落，已知鋼球的密度ρ=8.5×10³ kg/m³，常溫下甘油的密度ρ₀=1.3×10³ kg/m³，甘油的粘滯系數(shù)η=0.80（g取10m/s²）．
（1）鋼球從靜止釋放后，在甘油中做什么性質(zhì)的運動？
（2）當(dāng)鋼球的加速度a=g/2時，它的速度多大？
（3）鋼球在甘油中下落的最大速度v_m是多少？

Answer 1

分析 （1）鋼球從靜止釋放后，受到重力和黏滯阻力，由題分析阻力隨速度的變化，判斷合力的變化情況，從而分析出其運動性質(zhì)．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球加速度為$\frac{g}{2}$時的黏滯阻力，再根據(jù)黏滯阻力求出小球的速度．
（3）最終鋼球做勻速運動，速度最大，由已知條件和平衡條件列式求解．

解答 解：（1）鋼球從靜止釋放后，受到向下的重力和向上的黏滯阻力和浮力，由題F=6πηvr，可知阻力隨速度的增大而增大，則鋼球的合力減小，加速度減小，鋼球做加速度減小的變加速運動．當(dāng)阻力、浮力與重力平衡條件時做勻速直線運動．
（2）小球受重力、阻力、浮力作用下做加速運動，根據(jù)牛頓第二定律有：mg-F_浮-F₁=ma
由題意有：$m=ρ\frac{4}{3}π{r^3}$，${F_浮}={ρ_0}\frac{4}{3}π{r^3}g$，F(xiàn)₁=6πηvr
代入有：$ρ\frac{4}{3}π{r^3}g-{ρ_0}\frac{4}{3}π{r^3}g-6πηvr=m\frac{g}{2}$
解得：$v=\frac{{（\frac{1}{2}ρ-{ρ_0}）\frac{4}{3}π{r^3}g}}{6πηr}=\frac{{2.95×1{0^3}×\frac{4}{3}×π×（1×1{0^{-3}}{）^3}×10}}{{6π×0.80×1×1{0^{-3}}}}m/s=2.46×1{0^{-2}}m/s$
（3）最終鋼球做勻速運動，速度最大，由平衡條件得：
mg=F+F_浮；
即 $ρ•\frac{4}{3}π{r^3}g=6πη{v_m}r+{ρ_0}•\frac{4}{3}π{r^3}g$
解得：${v_m}=\frac{{2（ρ-{ρ_0}）{r^2}g}}{9η}=\frac{{2×（8.5×1{0^3}-1.3×1{0^3}）×（1{0^{-3}}{）^2}×10}}{9×0.80}m/s=0.02m/s$
答：：（1）鋼珠從靜止釋放后，在甘油中先做加速度減小的加速運動，最后做勻速運動；
（2）當(dāng)鋼珠的加速度a=$\frac{g}{2}$時，它的速度為2.46×10^-2m/s；
（3）鋼球在甘油中下落的最大速度v_m是0.02m/s．

點評 本題是信息題，要在讀懂題意的基礎(chǔ)上，運用動力學(xué)方法分析鋼球的運動情況，運用共點力平衡進行求解．