Question

12．一玻璃磚的截面形狀如圖所示，其中OAB為半徑r的$\frac{1}{4}$圓，OBED為矩形，其中矩形的寬BE=$\frac{\sqrt{2}}{4}$r，一細(xì)光束以與OB成45°的方向射向圓心O，光束恰好在AD邊界發(fā)生全反射，之后經(jīng)DE邊反射后從AB邊上的N點(diǎn)射出．已知光在真空中的傳播速度為c．求：
①光束由N點(diǎn)射出時(shí)的折射角；
②光束在玻璃磚中傳播的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）先作出光路圖，根據(jù)幾何關(guān)系得出臨界角，由全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求出折射率n．由幾何知識(shí)求得光線在F點(diǎn)的入射角，由折射定律求解光束由N點(diǎn)射出時(shí)的折射角．
（2）光在棱鏡中的傳播速度v=$\frac{c}{n}$．由幾何知識(shí)求出光線在棱鏡中傳播的距離S，由t=$\frac{S}{v}$求解傳播的時(shí)間．

解答 解：①作出光路圖如圖所示．

根據(jù)幾何關(guān)系可知，臨界角為
C=∠MOB=45°
sinC=$\frac{1}{n}$
得：n=$\frac{1}{sinC}$=$\sqrt{2}$
又OD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$r，OG=$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{4}$r=$\frac{1}{2}$r
根據(jù)幾何關(guān)系可知△OGN是直角三角形，則
sinα=$\frac{OG}{ON}$=$\frac{1}{2}$
根據(jù)折射定律有n=$\frac{sinβ}{sinα}$
解得：sinβ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，β=45°
②光束在玻璃磚中的傳播速度為：v=$\frac{c}{n}$=$\frac{c}{\sqrt{2}}$
由幾何知識(shí)得，光束在玻璃磚中傳播的距離為：l=r+$\frac{1}{2}$r+$\frac{\sqrt{3}r}{2}$
則光束在玻璃磚中傳播的時(shí)間為：t=$\frac{l}{v}$=$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）r}{2c}$
答：①光束由N點(diǎn)射出時(shí)的折射角是45°；
②光束在玻璃磚中傳播的時(shí)間$\frac{（3\sqrt{2}+\sqrt{6}）r}{2c}$．

點(diǎn)評(píng) 本題的突破口是“光線恰好在圓心O點(diǎn)發(fā)生全反射”，根據(jù)全反射臨界角公式sinC=$\frac{1}{n}$、折射定律n=$\frac{sini}{sinr}$、光速公式v=$\frac{c}{n}$相結(jié)合進(jìn)行處理．分析時(shí)，要靈活幾何知識(shí)求解相關(guān)角度和光傳播的距離，要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．