Question

10．為了研究過山車的原理，某研究小組設計了圖示連續(xù)軌道．該軌道由豎直面內光滑弧形軌道、半徑為R的豎直光滑圓軌道及粗糙水平軌道組成，距圓軌道最低點5R處有一豎直擋板．現將一可視為質點、質量為m的滑塊從弧形軌道上高為h處由靜止釋放，滑塊與擋板碰撞后以原速率反彈．已知滑塊與右側水平軌道之間的動摩擦因數μ=0.5，重力加速度為g．
（1）如果h=3R，求滑塊第一次到達豎直圓軌道的最高點時對軌道的壓力大�。�
（2）研究小組希望滑塊釋放后能順利通過豎直圓軌道又不會返回到左側的弧形軌道，而且運動過程中滑塊始終不脫離軌道，求滑塊的釋放高度h應該滿足的條件和從滿足條件的最高點釋放后滑塊停止時距軌道最低點的距離．

Answer 1

分析 （1）根據機械能守恒求出滑塊第一次到達豎直圓軌道最高點時的速度，結合牛頓第二定律求出軌道對滑塊的彈力，從而得出滑塊對軌道的壓力．
（2）通過最高點的臨界情況，結合機械能守恒求出最小高度h，滑塊與擋板碰撞后不再返回圓軌道左側，且不脫軌，則滑塊從水平軌道向左進入圓軌道后，在圓軌道內上升的最高點不超過圓心所在的高度，結合動能定理求出最大高度．
根據動能定理求出滑塊停止時距軌道最低點的距離．

解答 解：（1）滑塊滑到圓弧軌道最高點過程中：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$…①
滑塊過最高點時，有：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$…②
解得：F_N=mg
由牛頓第三定律，滑塊對軌道的壓力大小為mg…③
（2）設滑塊第一次通過豎直圓軌道的最高點時的速度大小為v，軌道的壓力為F_N，則：${F_N}+mg=m\frac{v^2}{R}$…④
能過最高點的條件：F_N≥0…⑤
從釋放到最高點過程中，有：$mgh=\frac{1}{2}m{v^2}+mg•2R$…⑥．
解得：$h≥\frac{5}{2}R$…⑦
滑塊與擋板碰撞后不再返回圓軌道左側，且不脫軌，則滑塊從水平軌道向左進入圓軌道后，在圓軌道內上升的最高點不超過圓心所在的高度，即   h'≤R…⑧
從釋放到第一次向左運動進入圓軌道并到達最高點的過程：mgh=mgh'+2μmg×5R…⑨
解得：h≤6R…⑩
所以，所求的釋放點高度滿足2.5R≤h≤6R
滑塊最終將停在粗糙的水平軌道上，從釋放到最終停止運動，滑塊在水平軌道所通過的總路程為x，則：
mgh=μmgx         
解得：x=12R            
所以，滑塊將停在圓軌道最低點右側距離：d=x-2×5R=2R     
答：（1）滑塊第一次到達豎直圓軌道的最高點時對軌道的壓力大小為mg；
（2）滑塊的釋放高度h應該滿足的條件為2.5R≤h≤6R，從滿足條件的最高點釋放后滑塊停止時距軌道最低點的距離為2R．

點評 本題考查了牛頓第二定律、機械能守恒、動能定理的綜合運用，關鍵抓住臨界狀態(tài)：1、第一次能越過最高點，2、與擋板碰撞后不要越過四分之一圓周．