Question

14．如圖甲所示，水平放置的平行金屬板A和B的距離為d，它們的右端安放著垂直于金屬板的靶MN，現(xiàn)在A、B板上加上如圖乙所示的方波形電壓，電壓的正向電壓值為U₀，反向電壓值為$\frac{{U}_{0}}{2}$，且每隔$\frac{T}{2}$變向1次．現(xiàn)將質(zhì)量為m的帶正電，且電荷量為q的粒子束從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板的方向OO′射入，設(shè)粒子能全部打在靶上而且所有粒子在A、B間的飛行時(shí)間均為T．不計(jì)重力的影響．

（1）定性分析在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)進(jìn)入的粒子，在垂直于金屬板的方向上的運(yùn)動(dòng)情況．
（2）求距靶MN的中心O′點(diǎn)多遠(yuǎn)的范圍內(nèi)有粒子擊中．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向在電場(chǎng)力的作用下先向下勻加速，再向下減速運(yùn)動(dòng)．
（2）當(dāng)粒子在0，T，2T，…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)點(diǎn)，粒子在豎直方向先向下做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)和后$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點(diǎn)正下方的最大位移．當(dāng)粒子在$\frac{T}{2}$、$\frac{3}{2}T$，…（2n+1）$\frac{T}{2}$時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)點(diǎn)．粒子在豎直方向先向上做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)．同理求出粒子打在距O′點(diǎn)正上方的最大位移．

解答 解：（1）0～$\frac{T}{2}$受到的電場(chǎng)力向下，向下加速運(yùn)動(dòng)，$\frac{T}{2}$～T受到的電場(chǎng)力向上，向下做減速減速運(yùn)動(dòng)，所以在垂直于金屬板的方向上先向下加速再向下減速
（2）粒子打在靶MN上的范圍，實(shí)際上就是粒子在豎直方向所能到達(dá)的范圍．
當(dāng)粒子在0、T、2T…nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)中，粒子將打在O′點(diǎn)下方最遠(yuǎn)處，在前T/2時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向上的位移
${y}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}=\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{8md}$
在后$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向上的位移
${y}_{2}^{\;}=v\frac{T}{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{T}{2}）_{\;}^{2}$
其中$v={a}_{1}^{\;}\frac{T}{2}=\frac{q{U}_{0}^{\;}}{md}×\frac{T}{2}$，${a}_{2}^{\;}=\frac{q\frac{{U}_{0}^{\;}}{2}}{md}$
可得${y}_{2}^{\;}=\frac{3q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{16md}$
故O′點(diǎn)正下方最大位移為：y=y₁+y₂=$\frac{5q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{16md}$
當(dāng)粒子在$\frac{T}{2}$、$\frac{3}{2}T$…$\frac{2n+1}{2}$T時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，粒子將打在O′點(diǎn)上方最遠(yuǎn)處，在前$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向上的位移為：y₁′=$\frac{1}{2}$a₁′•（$\frac{T}{2}$）²=$\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{16md}$
在后$\frac{T}{2}$時(shí)間內(nèi)，粒子在豎直方向上的位移，有：
y₂′=v′$\frac{T}{2}$-$\frac{1}{2}$a₂′（$\frac{T}{2}$）²
其中$v′={a}_{1}^{′}\frac{T}{2}=\frac{q\frac{{U}_{0}^{\;}}{2}}{md}×\frac{T}{2}$，${a}_{2}^{′}=\frac{q{U}_{0}^{\;}}{md}$
可得：y₂′=0
故O′點(diǎn)正上方最大位移為：y′=y₁′+y₂′=$\frac{q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{16md}$
答：（1）定性分析在t=0時(shí)刻從O點(diǎn)進(jìn)入的粒子，在垂直于金屬板的方向上的運(yùn)動(dòng)情況先向下加速再向下減速．
（2）距靶MN的中心O′點(diǎn)$\frac{5q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{16md}$～$\frac{9q{U}_{0}^{\;}{T}_{\;}^{2}}{16md}$的范圍內(nèi)有粒子擊中．

點(diǎn)評(píng) 本題是粒子在周期性變化的電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵．結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．