Question

5．如圖所示在Ⅱ、Ⅲ象限存在勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向與y軸負(fù)向成45°，Ⅰ、Ⅳ象限存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、方向垂直紙面指向里．一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的負(fù)電荷從電場(chǎng)中的P點(diǎn)由靜止釋放，P點(diǎn)離y軸距離為$\sqrt{2}$L，電荷離開電場(chǎng)后剛好從坐標(biāo)原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)，若電荷在磁場(chǎng)中的軌跡與x軸交點(diǎn)為M，電荷所受重力忽略不計(jì)．求
（1）電荷經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）電荷在磁場(chǎng)中的軌跡半徑．
（3）電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)負(fù)電荷的受力和運(yùn)動(dòng)情況，找到P的坐標(biāo)，再利用動(dòng)能定理求出電荷經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）利用負(fù)電荷在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)洛倫茲力提供向心力，求出軌跡半徑；
（3）利用作出的運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系找到轉(zhuǎn)過的角度，再求出周期，求出運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間．

解答 解：（1）因?yàn)樨?fù)電荷在Ⅱ、Ⅲ象限只受電場(chǎng)力作用，受到的電場(chǎng)力方向與電場(chǎng)方向相反，最后能從原點(diǎn)O進(jìn)入磁場(chǎng)，且P點(diǎn)離y軸距離為$\sqrt{2}$L，則P點(diǎn)的坐標(biāo)只能是$（-\sqrt{2}L，-\sqrt{2}L）$，則x_OP=2L
在電場(chǎng)中，由動(dòng)能定理得：qEx_OP=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得電荷經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度為：v=$\sqrt{\frac{4qEL}{m}}$；
（2）由于電場(chǎng)方向與y軸負(fù)向成45°，負(fù)電荷沿著電場(chǎng)反方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則電荷在O點(diǎn)的速度與y軸正方向成45°，由對(duì)稱性作出負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示
負(fù)電荷在磁場(chǎng)中洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mEL}{q}}$；
（3）負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
由幾何關(guān)系知，負(fù)電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)繞圓心轉(zhuǎn)過的角度θ=270°
則有：t=$\frac{θ}{360°}T=\frac{270°}{360°}•\frac{2πm}{qB}=\frac{3πm}{2qB}$
答：（1）電荷經(jīng)過O點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{\frac{4qEL}{m}}$；
（2）電荷在磁場(chǎng)中的軌跡半徑$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{mEL}{q}}$；
（3）電荷在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為$\frac{3πm}{2qB}$．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵是掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的解題思路：找圓心，求半徑，畫軌跡；另外特別注意粒子在磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期公式不能在計(jì)算題中直接使用，需要過程推導(dǎo)．