Question

1．質(zhì)譜儀是一種分析同位素的重要工具，它的構(gòu)造原理如圖所示．離子源S產(chǎn)生質(zhì)量為m、電荷量為q的鉀離子，離子出來時(shí)速度很小，可視為零．離子經(jīng)過電勢(shì)差為U的電場加速后，沿著與磁場垂直的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，經(jīng)半圓周到達(dá)照相底片上的P點(diǎn)．
（1）求粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度v₀；
（2）求P點(diǎn)到入口S₁的距離x；
（3）在實(shí)驗(yàn)過程中由于儀器不完善，加速電壓在平均值U附近變化±△U，求需要以多大相對(duì)精確度$\frac{△U}{U}$維持加速電壓值，才能使鉀39、鉀41的同位素束在照相底片上不發(fā)生覆蓋．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場時(shí)的動(dòng)能．
（2）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，可求出粒子的軌道半徑，然后求出距離．
（3）因電荷在電場中加速，根據(jù)動(dòng)能定理與牛頓第二定律相結(jié)合，即可求解運(yùn)動(dòng)半徑的大小；再由電壓變化范圍，則有鉀39和鉀41打在照相底片上的區(qū)域不重疊時(shí)的電壓差．

解答 解：（1）帶電粒子在加速電場中運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理有
 qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，解得，粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速率：v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由洛倫茲力提供向心力，則有
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$，解得：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
P點(diǎn)到入口S₁的距離x=2R=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）設(shè)加速電壓為U，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電荷的電荷量為q，質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)半徑為R，則
由動(dòng)能定理：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
牛頓第二定律，則有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
由此式可知，在B、q、U相同時(shí)，m小的半徑小，所以鉀39半徑小，鉀41半徑大；
在m、B、q相同時(shí)，U大半徑大．
設(shè)：鉀39質(zhì)量為m₁，電壓為U+△U時(shí)，最大半徑為R₁；
鉀41質(zhì)量為m₂，電壓為U-△U時(shí)，鉀41最小半徑為R₂．則
R₁=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{1}（U+△U）}{q}}$，R₂=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{2}（U-△U）}{q}}$，
令R₁=R₂，則m₁（U+△U）=m₂（U-△U）
解得：△U=$\frac{{m}_{2}-{m}_{1}}{{m}_{2}+{m}_{1}}$U=$\frac{41-39}{41+39}$U=$\frac{1}{40}$U，
相對(duì)精確度$\frac{△U}{U}$=2.5%；
答：（1）粒子進(jìn)入磁場時(shí)的速度v₀為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）P點(diǎn)到入口S₁的距離x為$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（3）在實(shí)驗(yàn)過程中由于儀器不完善，加速電壓在平均值U附近變化±△U，需要以2.5%的相對(duì)精確度$\frac{△U}{U}$維持加速電壓值，才能使鉀39、鉀41的同位素束在照相底片上不發(fā)生覆蓋．

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理和牛頓定律的綜合題，解決本題的關(guān)鍵會(huì)靈活運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓定律；確定運(yùn)動(dòng)半徑與電壓的關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵之處，同時(shí)注意理解：鉀39和鉀41打在照相底片上的區(qū)域不重疊的含義．