Question

9．矩形裸導線框長邊的長度為2l，短邊的長度為l，在兩個短邊上均接有阻值為R的電阻，其余部分電阻均不計．導線框的位置如圖所示，線框內(nèi)的磁場方向及分布情況如圖，大小為$B={B_0}cos（{\frac{πx}{2l}}）$．一電阻為R的光滑導體棒AB與短邊平行且與長邊始終接觸良好．起初導體棒處于x=0處，從t=0時刻起，導體棒AB在沿x方向的外力F的作用下做速度為v的勻速運動．試求：
（1）導體棒AB兩端的感應電動勢隨時間的變化規(guī)律；
（2）導體棒AB從x=0運動到x=2l的過程中外力F隨時間t變化的規(guī)律；
（3）導體棒AB從x=0運動到x=2l的過程中整個回路產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）導體棒勻速運動，其坐標為x=vt，由e=Blv求出導體棒產(chǎn)生的感應電動勢，
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律求出 通過AB棒的感應電流i，由F_安=Bil求安培力，即可由平衡條件求得外力與t關系的表達式；
（3）導體棒AB在切割磁感線的過程中產(chǎn)生半個周期的正弦交流電，由感應電動勢的瞬時表達式，求出感應電動勢的有效值，由焦耳定律求出熱量．

解答 解：（1）在t時刻AB棒的坐標為：x=vt
感應電動勢：$e=Blv={B_0}lvcos\frac{πvt}{2l}$
（2）回路總電阻：R_總=R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R  
回路感應電流：i=$\frac{e}{{R}_{總}}$=$\frac{2{B}_{0}lvcos\frac{πvt}{2l}}{3R}$    
棒勻速運動時有：F=F_安=BIl
解得：$F=\frac{{2B_0^2{l^2}v{{cos}^2}（\frac{πvt}{2l}）}}{3R}$$（0≤t≤\frac{2l}{v}）$
（3）導體棒AB在切割磁感線的過程中產(chǎn)生半個周期的正弦交流電，
感應電動勢的有效值為：$E=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{B_0}lv$
回路產(chǎn)生的電熱：Q=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{總}}$t
通電時間t=$\frac{2l}{v}$
聯(lián)立解得Q=$\frac{2{{B}_{0}}^{2}{l}^{3}v}{3R}$
答：（1）某一時刻t產(chǎn)生的電動勢e=B₀lvcos$\frac{πvt}{2l}$；
（2）某一時刻t所受的外力$F=\frac{{2B_0^2{l^2}v{{cos}^2}（\frac{πvt}{2l}）}}{3R}$$（0≤t≤\frac{2l}{v}）$；
（3）整個回路產(chǎn)生的熱量Q=$\frac{2{{B}_{0}}^{2}{l}^{3}v}{3R}$．

點評 本題以正弦式電流的產(chǎn)生來考查電磁感應的應用；關鍵要掌握電磁感應和電路的基本規(guī)律，知道在計算熱量時一定要用到有效值．