Question

9．矩形裸導(dǎo)線框長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為2l，短邊的長(zhǎng)度為l，在兩個(gè)短邊上均接有阻值為R的電阻，其余部分電阻均不計(jì)．導(dǎo)線框的位置如圖所示，線框內(nèi)的磁場(chǎng)方向及分布情況如圖，大小為$B={B_0}cos（{\frac{πx}{2l}}）$．一電阻為R的光滑導(dǎo)體棒AB與短邊平行且與長(zhǎng)邊始終接觸良好．起初導(dǎo)體棒處于x=0處，從t=0時(shí)刻起，導(dǎo)體棒AB在沿x方向的外力F的作用下做速度為v的勻速運(yùn)動(dòng)．試求：
（1）導(dǎo)體棒AB兩端的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間的變化規(guī)律；
（2）導(dǎo)體棒AB從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2l的過(guò)程中外力F隨時(shí)間t變化的規(guī)律；
（3）導(dǎo)體棒AB從x=0運(yùn)動(dòng)到x=2l的過(guò)程中整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量．

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)，其坐標(biāo)為x=vt，由e=Blv求出導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，
（2）根據(jù)閉合電路歐姆定律求出 通過(guò)AB棒的感應(yīng)電流i，由F_安=Bil求安培力，即可由平衡條件求得外力與t關(guān)系的表達(dá)式；
（3）導(dǎo)體棒AB在切割磁感線的過(guò)程中產(chǎn)生半個(gè)周期的正弦交流電，由感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)表達(dá)式，求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值，由焦耳定律求出熱量．

解答 解：（1）在t時(shí)刻AB棒的坐標(biāo)為：x=vt
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：$e=Blv={B_0}lvcos\frac{πvt}{2l}$
（2）回路總電阻：R_總=R+$\frac{1}{2}$R=$\frac{3}{2}$R  
回路感應(yīng)電流：i=$\frac{e}{{R}_{總}(cāng)}$=$\frac{2{B}_{0}lvcos\frac{πvt}{2l}}{3R}$    
棒勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)有：F=F_安=BIl
解得：$F=\frac{{2B_0^2{l^2}v{{cos}^2}（\frac{πvt}{2l}）}}{3R}$$（0≤t≤\frac{2l}{v}）$
（3）導(dǎo)體棒AB在切割磁感線的過(guò)程中產(chǎn)生半個(gè)周期的正弦交流電，
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的有效值為：$E=\frac{{\sqrt{2}}}{2}{B_0}lv$
回路產(chǎn)生的電熱：Q=$\frac{{E}^{2}}{{R}_{總}(cāng)}$t
通電時(shí)間t=$\frac{2l}{v}$
聯(lián)立解得Q=$\frac{2{{B}_{0}}^{2}{l}^{3}v}{3R}$
答：（1）某一時(shí)刻t產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)e=B₀lvcos$\frac{πvt}{2l}$；
（2）某一時(shí)刻t所受的外力$F=\frac{{2B_0^2{l^2}v{{cos}^2}（\frac{πvt}{2l}）}}{3R}$$（0≤t≤\frac{2l}{v}）$；
（3）整個(gè)回路產(chǎn)生的熱量Q=$\frac{2{{B}_{0}}^{2}{l}^{3}v}{3R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題以正弦式電流的產(chǎn)生來(lái)考查電磁感應(yīng)的應(yīng)用；關(guān)鍵要掌握電磁感應(yīng)和電路的基本規(guī)律，知道在計(jì)算熱量時(shí)一定要用到有效值．