Question

15．一宇航員乘坐自動航天飛行器到達一類似地球的星球表面進行科學考察，科考任務(wù)結(jié)束后，他將星球的自轉(zhuǎn)周期為18小時、同一物塊在星球兩極時的重力為在星球赤道時重力的$\frac{27}{26}$倍的兩個數(shù)據(jù)星球輸入飛行器的航程自動儀中．飛行器自動生成運行軌道，并按此軌道由星球表面P點返回到同步軌道．其中P點和Q點為切點．請問飛行器從橢圓軌道上的P點到Q點需要多長時間？

Answer 1

分析 在星球的兩極時重力等于萬有引力．在星球的赤道，物體的重力等于萬有引力與向心力之差．同步衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供，由這三個關(guān)系分別列式，求同步衛(wèi)星的軌道半徑與星球半徑的關(guān)系，再由開普勒第三定律求出飛行器運動的周期，即可得到所求時間．

解答 解：設(shè)該星球的半徑為R，質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的周期為T，軌道半徑為r，飛行器的周期為T′．
在星球的兩極有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
在星球的赤道有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg′+m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
據(jù)題有 mg′=$\frac{26}{27}$mg
聯(lián)立以上三式得：$\frac{1}{27}$•G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
對于同步衛(wèi)星有：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
聯(lián)立以上二式解得 r=3R
根據(jù)開普勒第三定律得 $\frac{（\frac{R+r}{2}）^{3}}{{r}^{3}}$=$\frac{T{′}^{2}}{{T}^{2}}$
可得 T′=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$T=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$×18h=4$\sqrt{6}$h
故飛行器從橢圓軌道上的P點到Q點需要的時間為 t=$\frac{T′}{2}$=2$\sqrt{6}$h
答：飛行器從橢圓軌道上的P點到Q點需要的時間為2$\sqrt{6}$h．

點評 本題的關(guān)鍵要之處是根據(jù)重力與萬有引力的關(guān)系、萬有引力與向心力的關(guān)系求同步衛(wèi)星的軌道半徑，明確飛行器由P點到Q點所需的時間應(yīng)是橢圓運動的半個周期．