Question

14．半徑分別為r和2r的同心圓形的光滑導軌固定在同一水平面內，一長為r、質量分布均勻的直導體棒AB置于圓導軌上，BA的延長線過圓導軌中心O，裝置的俯視圖如圖所示．整個裝置位于一磁感應強度大小為B的勻強磁場中，方向豎直向下．在內、外圓導軌間對稱地接有三個阻值均為R的電阻．直導體棒在垂直作用于導體棒AB中點的水平外力F作用下，以角速度ω繞O點順時針勻速轉動，在轉動過程中始終與導軌保持良好接觸，導體棒和導軌電阻均可忽略．求：
（1）導體棒產生的感應電動勢；
（2）流過導體棒的感應電流；
（3）外力大小．

Answer 1

分析 （1）根據：△t時間內導體棒掃過的面積和法拉第電磁感應定律求出感應電動勢．或根據E_感=BL$\overline{v}$及v=ωr求解．
（2）三個電阻為并聯(lián)關系，求得總電阻，再由歐姆定律求流過導體棒的感應電流．
（3）根據平衡條件和安培力公式結合求解外力的大�。�

解答 解：（1）解法一：△t時間內導體棒掃過的面積為 $△S=（{π•4{r^2}-π{r^2}}）•\frac{ω△t}{2π}=\frac{{3{r^2}ω△t}}{2}$
感應電動勢為 ${E_感}=\frac{△Φ}{△t}=\frac{B△S}{△t}=\frac{{3Bω{r^2}}}{2}$；
解法二：E_感=$BL\overline v=B•r•\frac{ωr+ω•2r}{2}$=$\frac{3}{2}$Bωr²；
（2）三個電阻為并聯(lián)關系：總電阻為 ${R_總}=\frac{R}{3}$
流過導體棒的感應電流 I_總=$\frac{E_感}{R_總}=\frac{{\frac{3}{2}Bω{r^2}}}{{\frac{R}{3}}}$=$\frac{9Bωr2}{2R}$；
（3）解法一：外力 $F=B{I_總}L=B•\frac{{9Bω{r^2}}}{2R}•r=\frac{{9ω{B^2}{r^3}}}{2R}$
解法二：F=$\frac{P}{\overline v}=\frac{{{E_感}{I_總}}}{\overline v}$=$\frac{9B2ωr3}{2R}$．
答：
（1）導體棒產生的感應電動勢是$\frac{3Bω{r}^{2}}{2}$；
（2）流過導體棒的感應電流是$\frac{9Bωr2}{2R}$；
（3）外力大小是$\frac{9B2ωr3}{2R}$．

點評 本題的關鍵要掌握法拉第電磁感應定律和轉動切割感應電動勢公式E=$\frac{1}{2}$BL²ω，知道能量是如何轉化的．