Question

1．圖甲為某種速度選擇器示意圖，加速電場(chǎng)右側(cè)是一接地金屬圓筒，O₁、O₂為加速電場(chǎng)兩極板上的小孔，O₃、O₄為圓筒某一直徑兩端的小孔，abcd為豎直熒光屏，光屏與直線O₁O₂平行．開(kāi)始時(shí)O₁、O₂、O₃、O₄在同一水平線上．已知加速電壓為U，圓簡(jiǎn)半徑為R，帶正電的粒子質(zhì)量為m，電量為q，圓筒轉(zhuǎn)軸到光屏的距離OP=3R（如圖乙）．不計(jì)位子重力及粒子間相互作用．

（1）若圓筒靜止且圓筒內(nèi)不加磁場(chǎng)，粒子從小孔O₁進(jìn)人電場(chǎng)時(shí)的速度可忽略，求粒子通過(guò)圓筒的時(shí)間t_o
（2）若圓筒內(nèi)有豎直向下勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，圓筒繞豎直中心軸以某一角速度逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，粒子源持續(xù)不斷地將速度不同的粒子從小孔0₁射人電場(chǎng)，經(jīng)足夠長(zhǎng)時(shí)間，有的粒子打到圓筒上被吸收，有的通過(guò)圓筒打到光屏上產(chǎn)生亮斑．如果在光屏PQ范圍內(nèi)的任意位里均會(huì)出現(xiàn)亮斑，PQ=$\sqrt{3}$R（如圖乙）．求粒子到達(dá)光屏?xí)r的速度大小v的范圍，以及圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子加速獲得的速度，若圓筒靜止且圓筒內(nèi)不加磁場(chǎng)時(shí)，粒子在圓筒內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由位移公式求解時(shí)間．
（2）光屏PQ范圍內(nèi)的任意位置里均會(huì)出現(xiàn)亮斑，說(shuō)明PQ范圍內(nèi)均有粒子到達(dá)，最小速度的粒子到達(dá)P，最大速度的粒子到達(dá)Q，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得到速度與半徑的關(guān)系，由幾何關(guān)系求解出軌跡半徑，即可得到速度v的范圍．根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，分析圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω．

解答 解：（1）粒子經(jīng)電場(chǎng)加速，由動(dòng)能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
粒子進(jìn)入圓筒中做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：t=$\frac{2R}{v}$，
解得：t=R$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$；
（2）光屏PQ范圍內(nèi)的任意位置里均會(huì)出現(xiàn)亮斑，說(shuō)明PQ范圍內(nèi)均有粒子到達(dá)，
最小速度v₁的粒子到達(dá)P，最大速度v₂的粒子到達(dá)Q，從0₂射出的粒子速度應(yīng)含有v₁～v₂的范圍內(nèi)的任意值．
在圓筒內(nèi)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{qBr}{m}$，
打到光屏上P點(diǎn)的粒子應(yīng)滿(mǎn)足 r₁=R，速度為：v₁=$\frac{qBR}{m}$，
如圖，由幾何關(guān)系知，到達(dá)Q點(diǎn)的粒子穿過(guò)圓筒的偏轉(zhuǎn)角為：α=60°
到達(dá)Q點(diǎn)的粒子應(yīng)滿(mǎn)足 r₂=Rtan60°=$\sqrt{3}$R，
速度為：v₂=$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$，則v的范圍為：$\frac{qBR}{m}$≤v≤$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$．
設(shè)粒子穿過(guò)圓筒的偏轉(zhuǎn)角為β，則粒子穿過(guò)圓筒的時(shí)間為：
△t=$\frac{β}{2π}$T，又：T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$，
粒子穿出圓筒應(yīng)滿(mǎn)足：ω△t=β+kπ，（k=0，1，2，3…）
解得：ω=（1+$\frac{kπ}{β}$）$\frac{qB}{m}$，（k=0，1，2，3…）
粒子速度不同，β不同，要使不同速度的粒子穿過(guò)以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓筒，應(yīng)滿(mǎn)足k=0，即ω=$\frac{qB}{m}$；
答：（1）粒子通過(guò)圓筒的時(shí)間t為R$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．
（2）粒子到達(dá)光屏?xí)r的速度大小v的范圍為$\frac{qBR}{m}$≤v≤$\frac{\sqrt{3}qBR}{m}$．圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω為$\frac{qB}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，畫(huà)出臨界軌跡，根據(jù)牛頓第二定律并結(jié)合幾何關(guān)系列式分析．對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)，還常常要考慮其周期性．