Question

20．電磁阻尼制動(dòng)是一種利用電磁感應(yīng)原理工作的新型制動(dòng)方式，它的基本原理如圖甲所示．水平面上固定一塊鋁板，當(dāng)一豎直方向的條形磁鐵在鋁板上方幾毫米高度上水平經(jīng)過時(shí)，鋁板內(nèi)感應(yīng)出的電流會(huì)對(duì)磁鐵的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生阻礙作用．電磁阻尼制動(dòng)是磁懸浮列車在高速運(yùn)行時(shí)進(jìn)行制動(dòng)的一種方式，某研究所制成如圖乙所示的車和軌道模型來定量模擬磁懸浮列車的制動(dòng)過程．車廂下端安裝有電磁鐵系統(tǒng)，能在長(zhǎng)為L(zhǎng)₁=0.6m，寬L₂=0.2m的矩形區(qū)域內(nèi)產(chǎn)生豎直方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度可隨車速的減小而自動(dòng)增大（由車內(nèi)速度傳感器控制），但最大不超過B₁=2T，將鋁板簡(jiǎn)化為長(zhǎng)大于L₁，寬也為L(zhǎng)₂的單匝矩形線圈，間隔鋪設(shè)在軌道正中央，其間隔也為L(zhǎng)₂，每個(gè)線圈的電阻為R₁=0.1Ω，導(dǎo)線粗細(xì)忽略不計(jì)．在某次實(shí)驗(yàn)中，模型車速度為v₀=20m/s時(shí)，啟動(dòng)電磁鐵系統(tǒng)開始制動(dòng)，車立即以加速度a₁=2m/s²做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)磁感應(yīng)強(qiáng)度增加到B₁時(shí)就保持不變，直到模型車停止運(yùn)動(dòng)．已知模型車的總質(zhì)量為m₁=36kg，空氣阻力不計(jì)．不考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化引起的電磁感應(yīng)現(xiàn)象以及線圈激發(fā)的磁場(chǎng)對(duì)電磁鐵產(chǎn)生磁場(chǎng)的影響．

（1）電磁鐵的磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大時(shí)，模型車的速度v₁為多大？
（2）模型車的制動(dòng)距離為多大？
（3）某同學(xué)受到上述裝置的啟發(fā)，設(shè)計(jì)了進(jìn)一步提高制動(dòng)效果的方案如下，將電磁鐵換成多個(gè)并在一起的永磁鐵組，兩個(gè)相鄰的磁鐵磁極的極性相反，且將線圈改為連續(xù)鋪放，相鄰線圈接觸緊密但彼此絕緣，如圖丙所示，若永磁鐵激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度恒定為B₂，模型車質(zhì)量m₁及開始減速的初速度v₀均不變，試通過必要的公式分析這種設(shè)計(jì)在提高制動(dòng)能力上的合理性．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)磁場(chǎng)在固定的線圈上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，線圈中產(chǎn)生感應(yīng)電流，出現(xiàn)的感應(yīng)磁場(chǎng)阻礙磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)．當(dāng)磁場(chǎng)達(dá)到最強(qiáng)時(shí)，且處于恒定，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出加速度，再由牛頓第二定律可得出安培力，從而求出線圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，最后確定線圈運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）在制動(dòng)過程中，線圈的加速度不是恒定，則可用動(dòng)量定理求出制動(dòng)距離；
（3）完全進(jìn)入永磁鐵的每個(gè)線圈，當(dāng)模型車的速度為v時(shí)，每個(gè)線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E₂=2B₂L₂v，由歐姆定律求出感應(yīng)電流，得到安培力，即可分析．

解答 解：（1）假設(shè)電磁鐵的磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大時(shí)，模型車的速度為v₁，則
 E₁=B₁L₁v₁ ①
 I₁=$\frac{{E}_{1}}{{R}_{1}}$ ②
 F₁=B₁I₁L₁ ③
 F₁=m₁a₁ ④
由①②③④式并代入數(shù)據(jù)得v₁=5m/s ⑤
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有，x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$       ⑥
由第（1）問的方法同理得到磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大以后任意速度v時(shí)，安培力的大小為
  F=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}_{1}^{2}v}{{R}_{1}}$            ⑦
對(duì)速度v₁后模型車的減速過程用動(dòng)量定理得
  $\overline{F}$t=m₁v₁     即$\frac{{B}_{1}^{2}{L}_{1}^{2}\overline{v}}{{R}_{1}}$t=m₁v₁        ⑧
  $\overline{v}$t=x₂           ⑨
 x=x₁+x₂ ⑩
由⑥⑦⑧⑨⑩并代入數(shù)據(jù)得 x=106.25m     
（3）完全進(jìn)入永磁鐵的每個(gè)線圈，當(dāng)模型車的速度為v時(shí)，每個(gè)線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為 E₂=2B₂L₂v （11）
每個(gè)線圈中的感應(yīng)電流為
  I₂=$\frac{{E}_{2}}{{R}_{2}}$ （12）
每個(gè)磁鐵受到的阻力為 
  f₂=2B₂L₁I₂； （13）
n個(gè)磁鐵受到的阻力為 F_合=2nB₂L₁I₂；（14）
由上述公式可知該同學(xué)的設(shè)計(jì)對(duì)于提高制動(dòng)能力上是合理的．
答：
（1）電磁鐵的磁感應(yīng)強(qiáng)度達(dá)到最大時(shí)，模型車的速度v₁為5m/s．
（2）模型車的制動(dòng)距離為106.25m．
（3）在提高制動(dòng)能力上是合理的．

點(diǎn)評(píng) 本題物理情境很新，但仍是常規(guī)物理模型，類似于磁場(chǎng)不動(dòng)線圈在動(dòng)的題型．在模型車的減速過程中，加速度不恒定，則用動(dòng)能定理來解決．