Question

3．在豎直平面內有一個半圓形軌道ABC，半徑為R，如圖所示．A、C兩點的連線水平，B點為軌道最低點．其中AB部分是光滑的，BC部分是粗糙的．有一個質量為m的乙物體靜止在B處，另一個質量為4m的甲物體從A點無初速度釋放，甲物體運動到軌道最低點與乙物體發(fā)生碰撞，碰撞時間極短，碰撞后結合成一個整體，甲乙構成的整體滑上BC軌道，最高運動到D點，OD與OB連線的夾角θ=60°．甲、乙兩物體可以看作質點，重力加速度為g，求：
（1）甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構成的整體對軌道最低點的壓力．
（3）甲乙構成的整體從B運動到D的過程中，摩擦力對其做的功．

Answer 1

分析 （1）先研究甲物體從A點下滑到B點的過程，根據機械能守恒定律求出A剛下滑到B點時的速度，再由動量守恒定律求出碰撞后甲乙的共同速度，即可對甲，運用動量定理求甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，對于甲乙構成的整體，由牛頓第二定律求出軌道對整體的支持力，再由牛頓第三定律求得整體對軌道最低點的壓力．
（3）甲乙構成的整體從B運動到D的過程中，運用動量定理求摩擦力對其做的功．

解答 解：（1）甲物體從A點下滑到B點的過程，根據機械能守恒定律得：
4mgR=$\frac{1}{2}$$•4m{v}_{0}^{2}$    
解得：v₀=$\sqrt{2gR}$
甲乙碰撞過程，取向左方向為正，根據動量守恒定律得：
4mv₀=5mv                                          
解得：v=$\frac{4}{5}{v}_{0}$=$\frac{4}{5}\sqrt{2gR}$
甲物與乙物體碰撞過程，對甲，由動量定理得：
I_甲=4mv-4mv₀=-$\frac{4}{5}m\sqrt{2gR}$
方向水平向右                                        
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，對甲乙構成的整體，由牛頓第二定律得：
F-5mg=5m$\frac{{v}^{2}}{R}$                                    
解得：F=5mg+6.4mg=11.4mg                                 
根據牛頓第三定律，對軌道的壓力F′也為11.4mg，方向豎直向下              
（3）由幾何知識可知，整體上升的高度為：h=R（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$R
根據動能定理得：-5mg•$\frac{R}{2}$+W_f=0-$\frac{1}{2}•5m{v}^{2}$
解得，摩擦力對整體做的功為：W_f=-0.7mgR
答：（1）甲物與乙物體碰撞過程中，甲物體受到的沖量大小為$\frac{4}{5}m\sqrt{2gR}$，方向水平向右．
（2）甲物體與乙物體碰撞后的瞬間，甲乙構成的整體對軌道最低點的壓力為11.4mg，方向豎直向下．
（3）甲乙構成的整體從B運動到D的過程中，摩擦力對其做的功是-0.7mgR．

點評 解決本題的關鍵按時間順序分析清楚物體的運動情況，把握每個過程的物理規(guī)律，知道碰撞的基本規(guī)律是動量守恒定律．摩擦力是阻力，運用動能定理是求變力做功常用的方法．