Question

3．2014年12月26日，我國(guó)東部14省市ETC聯(lián)網(wǎng)正式啟動(dòng)運(yùn)行，ETC是不停車電子收費(fèi)系統(tǒng)的簡(jiǎn)稱．汽車分別通過(guò)ETC通道和人工收費(fèi)通道的流程如圖所示．假設(shè)汽車以v₁=15m/s朝收費(fèi)站正常勻速沿直線行駛，如果過(guò)ETC通道，需要在收費(fèi)站中心線前d=10m處開始通過(guò)以v₂=5m/s的速度通過(guò)“勻速行駛區(qū)間”，通過(guò)中心線后，再勻加速至v₁正常行駛；如果過(guò)人工收費(fèi)通道，需要恰好在中心線處勻減速至零，經(jīng)過(guò)t=20s繳費(fèi)成功后，再啟動(dòng)汽車勻加速至v₁后勻速行駛，設(shè)汽車一直在一條直線上運(yùn)動(dòng)，加速和減速過(guò)程中的加速度大小均為1m/s²，求：
（1）汽車過(guò)ETC通道時(shí)，從開始減速到恢復(fù)正常行駛過(guò)程中的位移大小；
（2）汽車通過(guò)ETC通道比通過(guò)人工收費(fèi)通道可以節(jié)省多少時(shí)間；
（3）若有兩輛汽車在過(guò)收費(fèi)站前均以速度v₁并排勻速行駛，分別通過(guò)ETC通道和人工收費(fèi)通道并恢復(fù)以v₁速度勻速行駛后相距多遠(yuǎn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出加速和減速的位移，以及勻速運(yùn)動(dòng)的位移大小求出總位移．
（2）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)間公式求出勻加速和勻減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合通過(guò)ETC通道和人工收費(fèi)通道的時(shí)間求出節(jié)約的時(shí)間．
（3）求出兩種情況下車的位移，然后求出位移之差．

解答 解：（1）過(guò)ETC通道時(shí)，減速的位移和加速的位移相等，
均為：s₁=$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}}{2a}$=$\frac{1{5}^{2}-{5}^{2}}{2×1}$=100m，
所以總的位移：s_1總=2s₁+10m=210m．
（2）過(guò)ETC通道時(shí)：t₁=2×$\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{a}$+$\frac{10}{{v}_{2}}$=2×$\frac{15-5}{1}$+$\frac{10}{5}$=22s，
過(guò)人工收費(fèi)通道時(shí)：t₂=2×$\frac{{v}_{1}}{a}$+20=2×$\frac{15}{1}$+20=50s，
s₂=2×$\frac{{v}_{1}^{2}}{2a}$=2×$\frac{1{5}^{2}}{2×1}$=225m，
二者的位移差△s=s₂-s_1總=225-210m=15m．
在這段位移內(nèi)過(guò)ETC通道時(shí)是勻速直線運(yùn)動(dòng)
所以△t=t₂-（t₁+$\frac{△s}{{v}_{1}}$）=50-（22+$\frac{15}{15}$）=27s． 
（3）從開始剎車到恢復(fù)原來(lái)的速度，汽車通過(guò)的位移分別為：
s_1總=210m，s₂=225m，
人工通道停車時(shí)間內(nèi)，汽車正常行駛的位移：s=v₁t_停=15×20=300m，
則分別通過(guò)ETC通道和人工收費(fèi)通道并恢復(fù)以v₁速度勻速行駛后相距：
△s=s₂-s_1總+s=225-210+300=315m．
答：（1）從開始減速到恢復(fù)正常行駛過(guò)程中的位移大小為210m．
（2）汽車通過(guò)ETC通道比通過(guò)人工收費(fèi)通道節(jié)約的時(shí)間是27s．
（3）分別通過(guò)ETC通道和人工收費(fèi)通道并恢復(fù)以v₁速度勻速行駛后相距315m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清汽車在兩種通道下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式和時(shí)間公式進(jìn)行求解，難度不大．