Question

12．如圖所示，空間存在著強(qiáng)度E=$\frac{3mg}{q}$方向豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，在電場(chǎng)內(nèi)一長(zhǎng)為l的絕緣細(xì)線，一端固定在O點(diǎn)，一端拴著質(zhì)量m、電荷量q的小球．現(xiàn)將細(xì)線拉直到水平位置，使小球由靜止釋放，當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)時(shí)細(xì)線受到的拉力恰好達(dá)到它能承受的最大值而斷裂．求：
（1）小球運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）從斷線開(kāi)始計(jì)時(shí)，在t=$\sqrt{\frac{l}{g}}$時(shí)刻小球與O點(diǎn)的距離．
（3）如果繩子能夠承受足夠大的拉力，為了保證小球能夠在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在水平位置至少要在豎直方向上給小球多大的初速度？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）細(xì)線斷裂后小球做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求出豎直方向的加速度，然后由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解
（3）由牛頓第二定律求的最低點(diǎn)的速度，從水平位置到最低點(diǎn)由動(dòng)能定理求得初速度

解答 解：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)速度為v，對(duì)該過(guò)程由動(dòng)能定理有：
（qE-mg）L=$\frac{1}{2}$mv²
解得：$v=\sqrt{4gL}$
（2）小球在細(xì)線斷裂后，在豎直方向的加速度設(shè)為a，根據(jù)牛頓第二定律則：
a=$\frac{qE-mg}{m}$g     ③
小球水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，在t時(shí)刻：
x=vt=2L
y=$\frac{1}{2}at$
則小球與O點(diǎn)的距離：
d=$\sqrt{{x}^{2}+（y+L）^{2}}$
（3）在最低點(diǎn)的速度為v，則$qE-mg=\frac{m{v}^{2}}{L}$
v=$\sqrt{2gL}$
從水平位置到最低點(diǎn)由動(dòng)能定理可得$-qEL+mgL=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${v}_{0}=\sqrt{6gL}$
答：（1）小球運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{4gL}$；
（2）從斷線開(kāi)始計(jì)時(shí)，在t=$\sqrt{\frac{l}{g}}$時(shí)刻小球與O點(diǎn)的距離為$\sqrt{{x}^{2}+{（y+L）}^{2}}$．
（3）如果繩子能夠承受足夠大的拉力，為了保證小球能夠在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，在水平位置至少要在豎直方向上給小球初速度為$\sqrt{6gL}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和牛頓第二定律的綜合運(yùn)用，知道繩子斷裂后，小球在沿電場(chǎng)方向和垂直于電場(chǎng)方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律