Question

19．為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：如圖所示，取一個與水平方向夾角為θ=37°、長為L=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其AB與BC軌道以微小圓弧相接．一個小物塊以初速度v₀=4.0m/s從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰好沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下，已知物體與傾斜軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.50．（g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80），求：
（1）小物塊到達A點時速度
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回到傾斜軌道AB之間，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由題意可知物體平拋運動過程的末速度方向，則由運動的合成與分解可求得合速度；
（2）物體能通過最高點，則應保證重力充當向心力，由臨界條件可求得最高點的速度，則由動能定理可求得圓弧半徑的條件；
（3）要使物體能回到AB段中，小球應無法通過最高點，則由動能定理可求得臨界半徑，則可求得豎直圓軌道的半徑條件．

解答 解：（1）小物塊做平拋運動，經(jīng)時間 t 到達A處時，令下落的高度為h，水平分速度v₀，豎直速度為v_y．
小物塊恰好沿斜面AB方向滑下，
則tan37°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
得v_y=3 m/s，
所以小物塊到A點的速度為 v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s．
（2）物體落在斜面上后，受到斜面的摩擦力F _f=μF_N=μmgcos37°
設物塊進入圓軌道到達最高點時有最小速度v₁．
此時物塊受到的重力恰好提供向心力，令此時的半徑為 R₀，
則 mg=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
物塊從進入A點到圓軌道最高點的過程中，根據(jù)動能定理有：
 mg（Lsin37°-2R₁）-μmgcos37°•L=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv_A²．
聯(lián)立上式，解得 R₁=0.66m，
要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，圓弧軌道的半徑滿足 
  R≤0.66m．
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則物塊上升的高度須小于或等于某個值R₂，物塊從進入A點到沿圓軌道上升R₂，由動能定理得
   mgLsin37°-μmgcos37°•L-mgR₂=0-$\frac{1}{2}$mv_A²
解得 R₂=1.65m
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則豎直圓軌道的半徑應該滿足 R≥1.65m
答：
（1）小物塊到達A點時速度是5m/s．
（2）要使小物塊不離開軌道，并從軌道DE滑出，豎直圓弧軌道的半徑應該滿足：R≤0.66m．
（3）為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回到傾斜軌道AB之間，則豎直圓軌道的半徑應該滿足 R≥1.65m．

點評 本題考查豎直面內(nèi)的圓周運動的臨界條件及動能定理的應用，要求學生能明確本題的物理過程，并能分段應用所學物理規(guī)律求解；同時注意對題意的把握．