Question

2．如圖所示，A、B兩球中間有壓縮的輕短彈簧處于鎖定狀態(tài)（A、B兩球與彈簧兩端接觸但不連接）．彈簧的長(zhǎng)度、兩球的大小均忽略，整體視為質(zhì)點(diǎn)，該裝置從半徑為R的豎直光滑圓軌道左側(cè)圖示位置由靜止下滑，滑至最低點(diǎn)時(shí)，解除對(duì)彈簧的鎖定狀態(tài)之后，兩球恰好都能到達(dá)與圓心等高點(diǎn)，已知A的質(zhì)量為m，求：
（1）B的質(zhì)量m_B為多少？
（2）彈簧處于鎖定狀態(tài)時(shí)的彈性勢(shì)能E_p為多少？

Answer 1

分析 （1）兩個(gè)小球下滑的過(guò)程中機(jī)械能守恒；彈簧解除鎖定后，由動(dòng)量守恒定律求出二者的速度；小球恰好能到達(dá)圓心等高點(diǎn)，由機(jī)械能守恒列式可求得；
（2）A、B系統(tǒng)滑到軌道最低點(diǎn)過(guò)程，整體的機(jī)械能守恒，列式求出整體到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)的速度．對(duì)于解鎖過(guò)程，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，列式求解即可．

解答 解：（1）A與B最初一起下滑，有機(jī)械能守恒得：$（{m}_{A}+{m}_{B}）g（R-Rcos60°）=\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{1}^{2}$
整理得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
對(duì)最低點(diǎn)彈簧釋放的過(guò)程中，設(shè)兩球的速度大小是v2，選取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
（m_A+m_B）v₁=m_Bv₂-m_Av₂
都恰好上升到與圓心等高處，則：$2gR={v}_{2}^{2}$
聯(lián)立以上方程，得：${m}_{B}=（3+2\sqrt{2}）m$
（2）彈簧的彈性勢(shì)能：${E}_{P}=（{m}_{A}+{m}_{B}）gR-（{m}_{A}+{m}_{B}）g（R-Rcos60°）=（2+\sqrt{2}）mgR$
答：（1）B的質(zhì)量m_B為$（3+2\sqrt{2}）m$；（2）彈簧處于鎖定狀態(tài)時(shí)的彈性勢(shì)能E_p為$（2+\sqrt{2}）mgR$．

點(diǎn)評(píng) 該題中有多個(gè)過(guò)程，解題的關(guān)鍵是兩個(gè)球和彈簧系統(tǒng)機(jī)械能守恒，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，及機(jī)械能守恒定律多次列式即可．