Question

20．如圖所示，一輕質彈簧小端固定在水平地面上，上端與物體A連接，物體A又與一跨過定滑輪的輕繩相連，繩另一端懸掛著物體B和C，A、B、C均處于靜止狀態(tài)．現(xiàn)剪斷B和C之間的繩子，則A和B將做簡諧運動．已知物體A質量為3kg，B和C質量均為2kg，彈簧勁度系數(shù)為k=100N/m．
（g取10m/s²）試求：
（1）剪斷B和C間繩子之前，A、B、C均處于靜止狀態(tài)時，彈簧的形變量x₁；
（2）剪斷B和C間繩之后，物體A振動過程中的最大速度v_m及此時彈簧的形變量x₂；
（3）振動過程中，繩對物體B的最大拉力F_max和最小拉力F_min．

Answer 1

分析 （1）分別對A和BC整體受力分析，根據(jù)平衡條件求解即可；
（2）根據(jù)胡克定律，通過共點力平衡分別求出繩子剪斷前彈簧的伸長量以及繩子剪斷后，彈簧在平衡位置時的壓縮量．發(fā)現(xiàn)兩個位置伸長量和壓縮量相等，則彈簧勢能相等，結合機械能守恒定律求出在平衡位置時的速度，即最大速度．
（3）B振動到最低點時拉力最大，振動到最高點時拉力最小，根據(jù)牛頓第二定律求出最大拉力和最小拉力．

解答 解：（1）剪斷B和C間繩子之前，A，B，C均處于靜止狀態(tài)時，設繩子拉力為F，
對A：m_Ag+kx₁=F，對BC系統(tǒng)：（m_B+m_C）g=F，解得：x₁=0.1m=10cm；
（2）A振動過程受到最大時在平衡位置，此時合力為零，A、B間繩子拉力為F₀，彈簧壓縮量為x₂．
對B：F₀=m_Bg，對A：m_Ag=kx₂+F₀，解得：x₂=0.1m=10cm，
剪斷B、C間繩子后到速度最大的過程中，機械能守恒，
因x₁=x₂，在這兩位置時彈簧的彈性勢能相等，A下降的高度和B上升的高度為：d=x₁+x₂=20cm，
由機械能守恒定律得：m_Agd-m_Bgd=$\frac{1}{2}$（m_A+m_B）v_m²，解得：v_m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$m/s；
（3）B振動到最低點時拉力最大，為F_max；振動到最高點時拉力最小，為F_min；
由簡諧振動的對稱性可知，在最高點與最低點加速度a大小相等，
B在振動過程的最低點：F_max-m_Bg=m_Ba，m_Ag+kx₁-F_max=m_Aa，解得：F_max=28N；
B在振動過程的最高點：m_Bg-F_min=m_Ba，解得：F_min=12N．
答：（1）剪斷B和C間繩子之前，A、B、C均處于靜止狀態(tài)時，彈簧的形變量x₁為10cm．
（2）剪斷B和C間繩之后，物體A振動過程中的最大速度v_m及此時彈簧的形變量x₂為10cm．
（3）振動過程中，繩對物體B的最大拉力F_max為28N，最小拉力F_min為12N．

點評 本題綜合考查了自由落體運動、胡克定律、機械能守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強，對學生的能力要求較高，需加強訓練．