Question

6．小球從h高自由落地，碰地后又豎直彈起，每次彈起的速率均以碰地前瞬速率的$\frac{2}{3}$，求小球從開始釋放到停下所經(jīng)歷的總路程（空氣阻力不計(jì)）．

Answer 1

分析 小球做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，每個(gè)回合分自由下落和豎直上拋兩個(gè)子過程，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式逐次求出小球下落1次、2次…時(shí)撞地前瞬間的速度、下落路程和上升路程，總結(jié)規(guī)律，得到小球在地第n次反彈在空中往復(fù)運(yùn)動(dòng)的總路程，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求總路程．

解答 解：設(shè)小球第一次撞地前速度為v₀．
則v₀=$\sqrt{2gh}$
第一次撞地后：v₁=$\frac{2}{3}$v₀，反彈后空中往復(fù)運(yùn)動(dòng)的路程為  s₁=2×$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=2×$（\frac{2}{3}）^{2}$h
第二次撞地后：v₂=$\frac{2}{3}$v₁=$（\frac{2}{3}）^{2}$v₀，反彈后空中往復(fù)運(yùn)動(dòng)的路程為  s₂=2×$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$=2×$（\frac{2}{3}）^{4}$h
…
由運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：小球在地n次反彈在空中往復(fù)運(yùn)動(dòng)的路程為  s_n=2×$（\frac{2}{3}）^{2n}$h
故小球從開始釋放到停下所經(jīng)歷的總路程為 S=s₁+s₂+…+s_n=h+2×$（\frac{2}{3}）^{2}$h+2×$（\frac{2}{3}）^{4}$h+…+2×$（\frac{2}{3}）^{2n}$h=h+2h×$\frac{（\frac{2}{3}）^{2}}{1-（\frac{2}{3}）^{2}}$=2.6h
答：小球從開始釋放到停下所經(jīng)歷的總路程為2.6h．

點(diǎn)評(píng) 本題是物理中數(shù)列問題，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問題的能力，關(guān)鍵要尋找路程存在的規(guī)律．