Question

12．在如圖所示的裝置中，兩個光滑的定滑輪的半徑很小，表面粗糙的斜面固定在地面上，斜面的傾角為θ=30⁰，用一根跨過定滑輪的細線連接甲、乙兩物體，把甲物體放在斜面上且連線與斜面平行，把乙物體懸在空中，并使懸線拉直且偏離豎直方向α=60⁰．現同時釋放甲、乙兩物體，乙物體將在豎直平面內振動．當乙物體在運動的過程中，甲物體始終保持靜止，且當乙物體運動經過最高點和最低點時，甲物體在斜面上均恰好未滑動．已知乙物體的質量為m=1kg，若取重力加速度g=10m/s²．試求：
（1）乙物體經過最高點和最低點時懸線的拉力大小；
（2）甲物體的質量M及斜面對甲物體的最大靜摩擦力f．

Answer 1

分析 （1）當乙物體運動到最高點時，拉力最小，此時甲物體有沿斜面向上的最大靜摩擦力；當乙物體運動到最低點時，拉力最大，此時甲物體有沿斜面向下的最大靜摩擦力；
（2）根據共點力平衡列出表達式，求出甲物體的質量和最大靜摩擦力．

解答 解：（1）設當乙物體運動到最高點時，繩子上的彈力為F_T1
對乙物體F_T1=mgcosα=5 N
設當乙物體運動到最低點時，繩子上的彈力為F_T2
對乙物體由機械能守恒定律：mgl（1-cosα）=$\frac{1}{2}$mv²
又由牛頓第二定律：F_T2-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
得：F_T2=mg（3-2cosα）=20 N
（2）乙在最高點時甲物體恰好不下滑，有：Mgsinθ=f+F_T1
乙在最低點時甲物體恰好不上滑，有：Mgsinθ+f=F_T2
代入數據可解得：M=2.5kg，f=7.5N
答：（1）乙物體經過最高點懸線的拉力是5N，最低點時懸線的拉力大小是20N；
（2）甲物體的質量是2.5kg，斜面對甲物體的最大靜摩擦力是7.5N．

點評 本題是動能定理和動力學結合的問題，關鍵找出兩個臨界狀態(tài)．在兩個臨界狀態(tài)下甲物體處于平衡狀態(tài)．