Question

11．如圖所示，傾角θ=37°的光滑且足夠長的斜面固定在水平面上，在斜面頂端固定一個(gè)輪半徑和質(zhì)量不計(jì)的光滑定滑輪D，質(zhì)量均為m=1kg的物體A和B用一勁度系數(shù)k=240N/m的輕彈簧連接，物體B被位于斜面底端且垂直于斜面的擋板P擋住．用一不可伸長的輕繩使物體A跨過定滑輪與質(zhì)量為M的小環(huán)C連接，小環(huán)C穿過豎直固定的光滑均勻細(xì)桿，當(dāng)整個(gè)系統(tǒng)靜止時(shí)，環(huán)C位于Q處，繩與細(xì)桿的夾角α=53°，且物體B對(duì)擋板P的壓力恰好為零．圖中SD水平且長度為d=0.2m，位置 R與位置Q關(guān)于位置S對(duì)稱，輕彈簧和定滑輪右側(cè)的繩均與斜面平行．現(xiàn)讓環(huán)C從位置R由靜止釋放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s²．
求：（1）小環(huán)C的質(zhì)量M；
（2）小環(huán)C通過位置S時(shí)的動(dòng)能E_k及環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過程中輕繩對(duì)環(huán)做的功W_T；
（3）小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率v．

Answer 1

分析 （1）該題中，共有ABC三個(gè)物體與彈簧組成一個(gè)系統(tǒng)，受力的物體比較多，可以先以AB組成的整體為研究對(duì)象，求出繩子的拉力，然后以C為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，即可求出C的質(zhì)量；
（2）由幾何關(guān)系求出繩子RD段的長度，再以B為研究對(duì)象，求出彈簧的伸長量，以及后來的壓縮量，最后根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出C的速度、動(dòng)能；由動(dòng)能定理求出輕繩對(duì)環(huán)做的功W_T；
（3）由機(jī)械能守恒定律即可求出C的速度v．

解答 解：（1）先以AB組成的整體為研究對(duì)象，AB系統(tǒng)受到重力．支持力和繩子的拉力處于平衡狀態(tài)，則繩子的拉力為：
T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N
以C為研究對(duì)象，則C受到重力、繩子的拉力和桿的彈力處于平衡狀態(tài)，如圖，則：

T•cos53°=Mg
代入數(shù)據(jù)得：M=0.72kg
（2）考慮到本題中彈簧有不同的形變量，所以需要先計(jì)算不同情況下彈簧的形變量，然后判斷出是否需要使用彈簧的彈性勢能的表達(dá)式．
所以需要先計(jì)算出彈簧開始時(shí)的形變量．
由題意，開始時(shí)B恰好對(duì)擋板沒有壓力，所以B受到重力、支持力和彈簧的拉力，彈簧處于伸長狀態(tài)；產(chǎn)生B沿斜面方向的受力：
F₁=mgsinθ=1×10×sin37°=6N
彈簧的伸長量為：△x₁=$\frac{{F}_{1}}{k}$=$\frac{6}{240}$=0.025m
由題圖中的幾何關(guān)系可知：$\overline{RD}$=$\overline{QD}$=$\fractgsiqug{sinα}$=$\frac{0.2}{sin53°}$m=0.25m
所以C由R點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)的過程中，彈簧將縮短，有：x=$\overline{RD}$-$\overline{SD}$=0.25-0.20=0.05m＞0.025m
可知彈簧將由開始時(shí)的伸長狀態(tài)變成壓縮狀態(tài)，壓縮量：△x₂=x-△x₁=0.05-0.025=0.025m=△x₁
由于彈簧的壓縮量等于彈簧開始時(shí)的伸長量，所以當(dāng)C運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)時(shí)，彈簧的彈性勢能與開始時(shí)的彈性勢能是相等的．而A下降的距離等于彈簧縮短的距離x，即0.05m．
在C從R點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)的過程中，C受到的重力、A受到的重力對(duì)A與C組成的系統(tǒng) 做功．當(dāng)C到達(dá)S點(diǎn)時(shí)，C沿繩子方向的分速度是0，所以A的速度是0，A與C減小的重力勢能轉(zhuǎn)化為C的動(dòng)能，由機(jī)械能守恒定律得：
   Mg•$\overline{RS}$+mg•x•sinθ=$\frac{1}{2}$M${v}_{1}^{2}$
代入數(shù)據(jù)求得環(huán)C的動(dòng)能為：E_k=$\frac{1}{2}$M${v}_{1}^{2}$=1.38J
環(huán)下降的過程中重力和繩子的拉力對(duì)環(huán)做功，由動(dòng)能定理得：Mg•$\overline{RS}$+W_T=E_k
代入數(shù)據(jù)，得：W_T=0.3J
（3）結(jié)合第二步的分析可知，當(dāng)環(huán)到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，由于$\overline{RD}$=$\overline{QD}$，所以，物體A恰好又回到了開始時(shí)的位置，彈簧的長度又回到了最初的長度，所以環(huán)從R到S的過程中，只有環(huán)的重力勢能減小，其他的物體的勢能保持不變！
對(duì)環(huán)在Q點(diǎn)的速度進(jìn)行分解如下圖，則：

由圖可知，物體A上升的速度即沿繩子方向的速度，是環(huán)C的一個(gè)分速度，它們之間的關(guān)系：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{Q}}$=cosα=cos53°=0.6
所以：v_A=0.6v_Q
由功能關(guān)系：Mg$\overline{RQ}$=$\frac{1}{2}M{v}_{Q}^{2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)解得：小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率 v_Q=2m/s
答：（1）小環(huán)C的質(zhì)量 是0.72kg；
（2）小環(huán)C通過位置S時(shí)的動(dòng)能E_k是1.38J，環(huán)從位置R運(yùn)動(dòng)到位置S的過程中輕繩對(duì)環(huán)做的功是0.3J；
（3）小環(huán)C運(yùn)動(dòng)到位置Q的速率是2m/s．

點(diǎn)評(píng) 解答本題的關(guān)鍵要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過程，抓住隱含的相等條件，如第二問中，要得出彈簧的彈性勢能沒有變化的結(jié)論，否則解答的過程不能算是完整．