Question

12．宇宙中兩顆相距較近的天體稱為“雙星”，它們以二者連線上的某一點為圓心做勻速圓周運動而不至因萬有引力的作用吸引到一起．設(shè)雙星的質(zhì)量分別為m₁和m₂，兩者相距L，求：
（1）它們的線速度大小之比．
（2）試寫出它們角速度的表達式．

Answer 1

分析 （1）雙星靠相互間的萬有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比；結(jié)合線速度與角速度的關(guān)系求出線速度之比．
（2）萬有引力提供向心力，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以求出角速度．

解答 解：（1）雙星做圓周運動的角速度ω相等，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁…①G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…②
兩星球半徑之和等于兩星間的距離：R₁+R₂=L，
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$，即它們的線速度之比等于質(zhì)量的反比；
（2）由①式得：ω²=G$\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}{R}_{1}}$=G$\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}（L-{R}_{2}）}$…③
由②式得：R₂=G$\frac{{m}_{1}}{{L}^{2}{ω}^{2}}$…④
④式代入③式得：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$；
答：（1）它們的線速度大小之比為：m₂：m₁．
（2）它們角速度的表達式為：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．