Question

16．由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體的對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在平面內(nèi)做相同角速度的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如圖，三顆星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長(zhǎng)為a，萬有引力常量為G，下列說法正確的是（　　）

• A． 每個(gè)星體受到向心力大小均為3$\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$
• B． 每個(gè)星體的角速度均為$\sqrt{\frac{3Gm}{{a}^{2}}}$
• C． 若a不變，m是原來的兩倍，則周期是原來的$\frac{1}{2}$
• D． 若m不變，a是原來的4倍，則線速度是原來的$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 先寫出任意兩個(gè)星星之間的萬有引力，求每一顆星星受到的合力，該合力提供它們的向心力．然后用R表達(dá)出它們的軌道半徑，最后寫出用周期和線速度表達(dá)的向心力的公式，整理即可的出結(jié)果．

解答 解：A、對(duì)任意一個(gè)星體，受力分析如圖，有：
${F}_{1}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$，
${F}_{2}^{\;}=G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$，
進(jìn)行正交分解有：
${F}_{1x}^{\;}={F}_{1}^{\;}cos60°=\frac{1}{2}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$
${F}_{1y}^{\;}={F}_{1}^{\;}sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$
水平方向的合力為：${F}_{x}^{\;}={F}_{1x}^{\;}+{F}_{2}^{\;}=\frac{3}{2}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$
每個(gè)星體受到的向心力為：$F=\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{1y}^{2}}=\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}$，故A錯(cuò)誤；
B、每個(gè)星體繞中心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$r=\frac{\sqrt{3}a}{2}×\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{3}a}{3}$，根據(jù)萬有引力提供向心力有$\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}\frac{\sqrt{3}}{3}a$，解得：$ω=\sqrt{\frac{3Gm}{{a}_{\;}^{2}}}$，故B正確；
C、對(duì)每個(gè)星體，根據(jù)萬有引力提供向心力$\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\frac{\sqrt{3}a}{3}$，解得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{a}_{\;}^{2}}{3Gm}}$，若a不變，m是原來的兩倍，則周期是原來的$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故C錯(cuò)誤；
D、對(duì)每個(gè)星體，根據(jù)萬有引力提供向心力$\sqrt{3}G\frac{{m}_{\;}^{2}}{{a}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{\frac{\sqrt{3}a}{3}}$，解得：$v=\sqrt{\frac{Gm}{a}}$，若m不變，a是原來的4倍，則線速度是原來的$\frac{1}{2}$，故D正確；
故選：BD

點(diǎn)評(píng) 解決該題首先要理解模型所提供的情景，然后能夠列出合力提供向心力的公式，才能正確解答題目．