Question

7．如圖甲所示，平行于光滑斜面的輕彈簧勁度系數(shù)為k，一端固定在傾角為θ的斜面底端，另一端與物塊A連接，兩物塊A、B質(zhì)量均為m，初始時均靜止，現(xiàn)用平行于斜面向上的力F拉動物塊B，使B做加速度為a的勻加速運動，A、B兩物塊在開始一段時間內(nèi)的vt關(guān)系分別對應圖乙中A、B圖線（圖中t₁、t₂、v₁及v₂均未知）．

（1）求t₁時刻及t₂時刻彈簧的形變量．
（2）求t₁時刻，A、B剛分離時的速度．
（3）試討論從開始到t₂時刻，拉力F的變化情況．

Answer 1

分析 （1）A的速度最大時加速度為零，根據(jù)胡克定律求形變量；
（2）由圖讀出，t₁時刻A、B開始分離，對A根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求解分離時的速度；
（3）根據(jù)牛頓第二定律得出拉力F與形變量的關(guān)系，然后分析拉力的變化情況．

解答 解析　由圖乙可知，t₁時刻A、B開始分離，對A根據(jù)牛頓第二定律有：kx₁-mgsinθ=ma，
則x₁=$\frac{mgsinθ+ma}{k}$；
由圖乙知，t₂時刻A的加速度為零，速度最大，根據(jù)牛頓第二定律和胡克定律得：mgsinθ=kx₂，
則得x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）由圖乙可知，t₁時刻A、B開始分離，對A根據(jù)牛頓第二定律有kx₁-mgsinθ=ma，
開始時有2mgsinθ=kx₀；
又x₀-x₁=$\frac{1}{2}$at${\;}_{1}^{2}$，
速度v₁=at₁=$\sqrt{\frac{2a（mgsinθ-ma）}{k}}$；
（3）從開始到t₁時刻，對A、B整體，根據(jù)牛頓第二定律得F+kx₁-2mgsinθ=2ma，
得F=2mgsinθ+2ma-kx₁，x₁減小，F(xiàn)增大．
t₁時刻到t₂時刻，對B，由牛頓第二定律得F-mgsinθ=ma，得F=mgsinθ+ma，可知F不變．
答：（1）求t₁時刻彈簧的形變量為x₁=$\frac{mgsinθ+ma}{k}$；t₂時刻彈簧的形變量為x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）t₁時刻，A、B剛分離時的速度為$\sqrt{\frac{2a（mgsinθ-ma）}{k}}$；
（3）從開始到t₁時刻，隨著位移增大、牽引力逐漸增大；t₁時刻到t₂時刻，拉力F不變．

點評 從受力角度看，兩物體分離的條件是兩物體間的正壓力為0．從運動學角度看，一起運動的兩物體恰好分離時，兩物體在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．