Question

11．如圖所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向左的勻強(qiáng)電場，在虛線的左側(cè)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感強(qiáng)度大小為B．一絕緣彎桿由兩段直桿和一段半徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)．PQ、MN水平且足夠長，半圓環(huán)PAM在磁場邊界左側(cè)，P、M點(diǎn)在磁場邊界線上，NMAP段是光滑的，現(xiàn)有一質(zhì)量為m 、帶電+q的小環(huán)套在MN桿上，它所受電場力為重力的$\frac{3}{4}$倍．現(xiàn)在M右側(cè)D點(diǎn)由靜止釋放小環(huán)，小環(huán)剛好能到達(dá)P點(diǎn)．
（1）求DM間距離x₀ ；
（2）求上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)彎桿對小環(huán)作用力的大小；
（3）若小環(huán)與PQ間動摩擦因數(shù)為m （設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等），現(xiàn)將小環(huán)移至M 點(diǎn)右側(cè)4R處由靜止開始釋放，求小環(huán)在整個運(yùn)動過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）對D到P為研究過程，運(yùn)用動能定理求出DM間的距離．
（2）對D到A為研究過程，運(yùn)用動能定理求出A點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓第二定律，沿半徑方向上合力提供向心力，求出彎桿對小環(huán)作用力的大�。�
（3）需討論摩擦力的大小與電場力的大小關(guān)系，若摩擦力大于電場力，則運(yùn)動到P點(diǎn)右側(cè)停止；若摩擦力小于電場力，則環(huán)最終在DP間往復(fù)運(yùn)動．根據(jù)動能定理求出摩擦力做的功．

解答 解：（1）小環(huán)剛好到達(dá)P點(diǎn)時(shí)速度：v_P =0，
由動能定理得：qEx₀-2mgR=0      ①
由題意可知：qE=$\frac{3}{4}$mg          ②
由①②解得：x₀=$\frac{8R}{3}$；
（2）設(shè)小環(huán)在A點(diǎn)時(shí)的速度為v_A ，由動能定理得：
qE（x₀+R）-mgR=$\frac{1}{2}$mv${\;}_{A}^{2}$-0   ③
解得：v_A=$\frac{\sqrt{14Rg}}{2}$  ④
設(shè)小環(huán)在A點(diǎn)時(shí)所受彎桿的作用力大小為N ，
由牛頓第二定律得：N-qv_AB-qE=m$\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$  ⑤
由②、④、⑤得N=$\frac{17mg}{4}+\frac{qB\sqrt{14Rg}}{2}$；    
（3）若f=μmg ≥qE ，即：μ≥$\frac{3}{4}$，
小環(huán)第一次到達(dá)P點(diǎn)右側(cè)s_l 距離處靜止，
由動能定理得：qE（4R-s₁）-2mgR-fs₁=0 　 ⑥
滑動摩擦力：f=μmg                    　 ⑦
由⑥、⑦得s₁=$\frac{4R}{4μ+3}$            　 ⑧
克服摩擦力所做的功W=fs₁=$\frac{4μmgR}{4μ+3}$    ⑨
若f=mg ＜qE ，即μ＜$\frac{3}{4}$，環(huán)經(jīng)過來回往復(fù)運(yùn)動一段時(shí)間之后，最后只能在光滑的PD之間往復(fù)運(yùn)動，設(shè)克服摩擦力功為W，則：
qE（4R）-2mgR-W=0    ⑩
解得：W=mgR；
答：（1）DM間距離x₀ 為$\frac{8R}{3}$；
（2）上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點(diǎn)時(shí)彎桿對小環(huán)作用力的大小為$\frac{17mg}{4}+\frac{qB\sqrt{14Rg}}{2}$；
（3）小環(huán)在整個運(yùn)動過程中克服摩擦力所做的功為$\frac{4μmgR}{4μ+3}$或mgR．

點(diǎn)評 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚物體運(yùn)動過程是正確解題的關(guān)鍵，運(yùn)用動能定理解題需合適地選取研究的過程，根據(jù)動能定理列出表達(dá)式求解．