Question

18．探月工程三期飛行試驗(yàn)器于2014年10月24日2時(shí)在中國西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空，飛行試驗(yàn)器飛抵距月球6萬千米附近進(jìn)入月球引力影響區(qū)，開始月球近旁轉(zhuǎn)向飛行，最終進(jìn)入距月球表面h（h=200km）的圓形工作軌道．設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g，萬有引力常量為G，則下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A． 由題目條件可知月球的平均密度為$\frac{3g}{4πGR}$
• B． 飛行試驗(yàn)器繞月球運(yùn)行的周期為2π $\sqrt{\frac{R+h}{g}}$
• C． 在飛行試驗(yàn)器的工作軌道處的重力加速度為（$\frac{R+h}{R}$）²g
• D． 飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的繞行速度為$\sqrt{g（R+h）}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力與星球表面重力相等列出等式，根據(jù)牛頓第二定律得出飛行試驗(yàn)器在工作軌道上的加速度；飛行器繞月運(yùn)行時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力列出等式求解；根據(jù)萬有引力提供向心力，推導(dǎo)出線速度求解；根據(jù)密度定義求解

解答 解：A、令月球質(zhì)量為M，在月球表面重力與萬有引力相等有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，可得$GM=g{R}_{\;}^{2}$月球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，且體積$V=\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}$，根據(jù)密度公式$ρ=\frac{M}{V}=\frac{3g}{4πRG}$，故A正確；
B、行器繞月運(yùn)行時(shí)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：G$\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得$T=2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{GM}}$=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（R+h）_{\;}^{3}}{g{R}_{\;}^{2}}}$，故B錯(cuò)誤；
C、飛行試驗(yàn)器工作軌道處的重力加速度為g′，根據(jù)$mg′=G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}$，則有
$g′=\frac{GM}{（R+h）_{\;}^{2}}=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{（R+h）_{\;}^{2}}$=$（\frac{R}{R+h}）_{\;}^{2}g$，故C錯(cuò)誤；
D、$v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{R+h}}$，故D錯(cuò)誤；
故選：A

點(diǎn)評(píng) 萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力和萬有引力與星球表面重力相等是解決此類問題的主要入手點(diǎn)，關(guān)鍵是掌握相關(guān)公式及公式變換．