Question

6．如圖所示，用長為L的輕質細線將質量為m的小球懸掛于O點，小球在外力作用下靜止在A處，此時細線偏離豎直的夾角為α，現撤去外力，讓小球由靜止釋放，擺到最低點B時，細線被O點正下方的小釘子擋住，小球繼續(xù)向左擺動到細線偏離豎直方向β（β＜α）角時，垂直撞擊擋板，此后，小球擺到右側最高點時細線與豎直方向夾角也為β．不計空氣阻力，忽略細線與釘子相互作用時的能量損失．求：
（1）小球靜止在A處時，所受外力的最小值；
（2）小球第一次向左擺到B點前瞬間對細線的拉力大�。�
（3）小球與擋板第一次垂直撞擊過程中，擋板對小球做的功；并請判斷小球是否會第二次撞擊擋板，給出理由．

Answer 1

分析 （1）小球在A處于靜止，受共點力平衡，當F₁與細線垂直時最小，根據平衡條件求解；
（2）根據動能定理求出第一次到達B點的速度，結合牛頓第二定律求出細線的拉力，從而結合牛頓第三定律求出小球對細線的拉力．
（3）擋板對小球做的功等于小球機械能的該變量，根據機械能的變化量求出擋板對小球做的功．通過假設法，結合幾何關系判斷小球是否會發(fā)生第二次撞擊擋板．

解答 解：（1）當外力F垂直于繩子方向時，外力最小，
F_min=mgsinα．
（2）設小球第一次向左擺到B點前瞬間的速度為v，細線上的拉力為F，小球由A到B的過程中，根據動能定理得，
$mgL（1-cosα）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
由牛頓第二定律得，$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{L}$，
解得F=mg（3-2cosα），
由牛頓第三定理，對細線的拉力F′=F=mg（3-2cosα）．
（3）擋板對小球做的功等于小球機械能的該變量，
即W=E₂-E₁，
取小球在B點的重力勢能為零，
E₂=mgl（1-cosβ），E₁=mgl（1-cosα），
解得W=mgl（cosα-cosβ）．
判斷：小球會第二次撞擊擋板．
理由：假設小球擺到右側最高點時小球的位置為D，作圖幾何關系可以證明D點比C點的對稱點C′位置高，即可說明小球能第二次撞擊擋板．
答：（1）小球靜止在A處時，所受外力的最小值為mgsinα；
（2）小球第一次向左擺到B點前瞬間對細線的拉力大小為mg（3-2cosα）；
（3）小球與擋板第一次垂直撞擊過程中，擋板對小球做的功為mgl（cosα-cosβ）．小球會第二次撞擊擋板．理由：假設小球擺到右側最高點時小球的位置為D，作圖幾何關系可以證明D點比C點的對稱點C′位置高，即可說明小球能第二次撞擊擋板．

點評 本題主要考查了共點力平衡條件、向心力公式以及動能定理的直接應用，要求同學們能正確分析小球的受力情況和運動情況，注意求變力做功時，只能使用功能關系進行求解，難度適中．