Question

3．雙星系統(tǒng)由兩顆恒星組成，兩恒星在相互引力的作用下，分別圍繞其連線上的某一點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)．研究發(fā)現(xiàn)，雙星系統(tǒng)演化過(guò)程中，兩星的總質(zhì)量、距離和周期均可能發(fā)生變化．若某雙星系統(tǒng)中兩星做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間演化后，兩星總質(zhì)量變?yōu)樵瓉?lái)的4倍，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則此時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)的周期為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$T
• B． T
• C． $\sqrt{2}$T
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$T

Answer 1

分析 雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，分別對(duì)兩星進(jìn)行列式，即可來(lái)求解．

解答 解：設(shè)m₁的軌道半徑為R₁，m₂的軌道半徑為R₂．兩星之間的距離為L(zhǎng)．
由于它們之間的距離恒定，因此雙星在空間的繞向一定相同，同時(shí)角速度和周期也都相同．由向心力公式可得：
對(duì)m₁：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{1}$   ①
對(duì)m₂：G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}={m}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}{R}_{2}$…②
又因?yàn)镽₁+R₂=L，m₁+m₂=M
由①②式可得：T=2π$\sqrt{\frac{{L}^{3}}{GM}}$
所以當(dāng)兩星總質(zhì)量變?yōu)?M，兩星之間的距離變?yōu)樵瓉?lái)的2L，圓周運(yùn)動(dòng)的周期為
T′=2π$\sqrt{\frac{（2L）^{3}}{G4M}}$=$\sqrt{\frac{{2}^{3}}{4}}T=\sqrt{2}T$
故C正確，ABD錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及會(huì)用萬(wàn)有引力提供向心力進(jìn)行求解．