Question

13．在許多建筑工地經(jīng)常使用打夯機將樁料打入泥土中以加固地基．打夯前先將樁料扶起、使其緩慢直立進入泥土中，每次卷揚機都通過滑輪用輕質(zhì)鋼絲繩將夯錘提升到距離樁頂h₀=5m處再釋放，讓夯錘自由下落，若夯錘砸在樁料上并不彈起，并隨樁料一起以夯錘砸在樁料前速度的$\frac{1}{2}$向下運動．設夯錘和樁料的質(zhì)量均為m=500kg，泥土對樁料的阻力為f=kh，其中常數(shù)k=2.0×10⁴N/m，h是樁料深入泥土的深度．卷揚機使用電動機來驅(qū)動，卷揚機和電動機總的工作效率為η=95%，每次卷揚機需用20s的時間提升夯錘．提升夯錘時忽略加速和減速的過程，不計夯錘提升時的動能，也不計滑輪的摩擦．夯錘和樁料的作用時間極短，g取10m/s²，求：
（1）在提升夯錘的過程中，電動機的輸入功率．（結(jié)果保留2位有效數(shù)字）
（2）打完第一夯后，樁料進入泥土的深度．

Answer 1

分析 由能量守恒定律來算出電動機的輸入功率；先算出依靠自重樁料可下沉高度，再用平均力做功算出突入泥土的深度．

解答 解：（1）提升夯錘的過程中需做功W=mgh₀，
所以W=500×10×5J=2.5×10⁴J．
則卷揚機的輸入功率為
P=$\frac{W}{ηt}=\frac{25000}{0.95×20}W=\frac{5}{38}×1{0}^{4}W$=1.3×10³W．
（2）依靠自重樁料可下沉h₁，有mg=2.0×10⁴h₁
所以h₁=0.25m，
夯在打擊前的速度為v=$\sqrt{2g{h}_{0}}=\sqrt{2×10×5}m/s=10m/s$，
夯錘砸在樁料上的過程時間短，近似看做動量守恒，在豎直方向上，由于夯錘砸在樁料上并不彈起，而隨樁料一起向下運動，所以得：
mv=（m+m）v₁
打擊后的共同速度為v₁=5m/s，
下沖過程的阻力是隨距離均勻變化的力，可用平均力求做功，下沖過程用動能定理
$0-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=2mg△h-\frac{1}{2}k[{h}_{1}+（{h}_{1}+△h）]△h$，
所以2△h²-△h-2.5=0，$△h=\frac{1+\sqrt{21}}{4}m=1.4m$，
則第一夯打擊后樁料深入泥土的濃度為h=h₁+△h=1.65m．
答：（1）電動機的輸入功率為1.3×10³W．
（2）打完第一夯后，樁料進入泥土的深度為1.65m．

點評 本題考查動能定理和能量守恒的使用，難點在于當力隨距離均勻變化時，可用平均力求功，也可用圖象法，力與距離所夾面積表示功．