Question

3．假設(shè)銀河系的物質(zhì)在宇宙中呈球?qū)ΨQ分布，其球心為銀心，距離銀心相等處的銀河質(zhì)量分布相同．又假定距銀心距離為r處的物質(zhì)受到銀河系的萬有引力和將以r為半徑的球面內(nèi)所有銀河系物質(zhì)集中于銀心時(shí)所產(chǎn)生的萬有引力相同．已知地球到太陽中心的距離R₀，太陽到銀心的距離a=1.75×10⁸年，太陽質(zhì)量為Ms，銀河系中發(fā)光的物質(zhì)僅分布在r≤1.5a的范圍內(nèi)．目前可能測(cè)得繞銀心運(yùn)動(dòng)的物體距銀心的距離不大于6a，且a≤r≤6a范圍內(nèi)，物體繞銀心運(yùn)動(dòng)的速度是一恒量．按上述條件解答：
（1）論證銀河系物質(zhì)能否均勻分布；
（2）計(jì)算銀河系中發(fā)光的物質(zhì)質(zhì)量最多有多少；
（3）計(jì)算整個(gè)銀河系物質(zhì)質(zhì)量至少有多少；
（4）計(jì)算銀河系中不發(fā)光物質(zhì)（即暗物質(zhì)）質(zhì)量至少有多少．（上述計(jì)算結(jié)果均用太陽質(zhì)量Ms表示）

Answer 1

分析 （1）用假設(shè)法來判定質(zhì)量能否均勻分布，依據(jù)萬有引力提供向心力的速度表達(dá)式，通過計(jì)算，驗(yàn)證假設(shè)結(jié)果與實(shí)際觀測(cè)結(jié)果是否一致，從而得出結(jié)論
（2、3、4）依據(jù)萬有引力提供向心力的速度表達(dá)式，結(jié)合周期公式，推導(dǎo)出來銀河系發(fā)光物質(zhì)的質(zhì)量和總質(zhì)量，總質(zhì)量減去發(fā)光物質(zhì)的質(zhì)量即為暗物質(zhì)的質(zhì)量．

解答 解：
（1）假定銀河系物質(zhì)集中分布在r≤1.5a的范圍內(nèi)，設(shè)其質(zhì)量為M，則在1.5a≤r≤6a范圍內(nèi)，質(zhì)量為m的物質(zhì)在銀河系物質(zhì)作用下做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：
$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
即銀河系物體的速率v與$\sqrt{\frac{1}{r}}$成正比，與觀察結(jié)果不一致．
假定銀河系物質(zhì)集中分布在r≤6a的范圍內(nèi)，設(shè)銀河系物質(zhì)的密度為ρ，則質(zhì)量為m的物體在此范圍內(nèi)繞銀心圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有：
$G\frac{ρ\frac{4π{r}^{3}}{3}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：
$v=\sqrt{\frac{4}{3}πρG}•r$，
即銀河系物體的速率v與r成正比，與觀察結(jié)果也不一致，由以上分析可知，銀河系物質(zhì)在r≤6a的范圍內(nèi)，不是均勻分布的，發(fā)亮物質(zhì)僅僅分布在r≤1.5a的范圍內(nèi)，在1.5a≤r≤6a范圍內(nèi)是不發(fā)光物質(zhì)，即所謂的暗物質(zhì)，當(dāng)然也不排斥在r≤1.5a的范圍內(nèi)存在暗物質(zhì)．
（2、3、4）根據(jù)太陽繞銀心的運(yùn)動(dòng)周期T和太陽到銀心的距離r_s=a，可求出半徑為a的球面內(nèi)銀河系物質(zhì)的質(zhì)量Ma，以Ms表示太陽質(zhì)量，v_s表示太陽速度，則有：
$G\frac{MaMs}{{a}^{2}}=Ms\frac{{{v}_{s}}^{2}}{a}$，
而：
${v}_{s}=\frac{2πa}{T}$，
由此得：
$Ma=\frac{4{π}^{2}{a}^{3}}{G{T}^{2}}$，
當(dāng)質(zhì)量為m的物體繞銀心做半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：
$G\frac{{M}_{r}m}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
若a≤r≤6a，根據(jù)觀察結(jié)果：v=v_s，
由以上各式得：
$Ma=Ms（\frac{a}{{R}_{0}}）^{3}{（\frac{{T}_{0}}{T}）}^{2}$，
代入數(shù)據(jù)解得：
$Ma=（1.75×1{0}^{9}）^{3}×（\frac{1}{2.4×1{0}^{8}}）^{2}Ms$=9.3×10¹⁰Ms，
可知銀河系中發(fā)光物質(zhì)的質(zhì)量上限是：
$M（1.5a）=\frac{Ma}{a}×1.5a=1.4×1{0}^{11}Ms$，
銀河系的物質(zhì)下限是：
$M（6a）=\frac{Ma}{a}×6a=5.6×1{0}^{11}Ms$，
不發(fā)光物質(zhì)的下限為：
M（暗）=M（6a）-M（1.5a）=4.2×10¹¹Ms．
答：
（1）銀河系物質(zhì)不能均勻分布；
（2）銀河系中發(fā)光的物質(zhì)質(zhì)量最多有1.4×10¹¹Ms；
（3）整個(gè)銀河系物質(zhì)質(zhì)量至少5.6×10¹¹Ms；
（4）銀河系中不發(fā)光物質(zhì)（即暗物質(zhì)）質(zhì)量至少4.2×10¹¹Ms．

點(diǎn)評(píng) 該題的關(guān)鍵是建立物理模型，該情形不是針對(duì)的兩個(gè)固定天體研究，而是針對(duì)整個(gè)銀河系，但是其基本原理是與兩個(gè)天體的情形已知的，規(guī)律相同，故可利用萬有引力表達(dá)式來求解．另外該題在判定物質(zhì)是否均勻分布上，使用的是假設(shè)法，此方法一般用來判定不確定狀態(tài)的．